第三章 恒定电流的电场和磁场.ppt

第4次作业第二章作业:P.461011121314,3.1、恒定电流的电场3.2、磁感应强度3.3、恒定磁场的基本方程3.4、矢量磁位3.5、磁偶极子3.6、磁介质中的场方程3.7、恒定磁场的边界条件3.8、标量磁位3.10、磁场能量,第三章恒定电流的电场和磁场,3.1.1电流分布,1、体电流密度,垂直通过面元S的电流为I，则该点的体电流密度：,3.1恒定电流的电场,（1）,载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，称为电流场！电流场的矢量线叫做电流线。,通过面积S的电流：,（2）,通过闭合面积S的电流：,（3）,电流场，电流线,通过面元dS的电流：,在薄层上，垂直通过长度L的电流为I，则该点的面电流密度：,（4）,2、面电流密度,运流电流：电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。如真空管中电流。运流电流的电流密度与电荷运动速度的关系为,式中：为电荷密度。,（5）,传导电流：导体、半导体内自由电子或空穴，或者电解液中离子运动形成的电流。,3、传导电流和运流电流,3.1.2电荷守恒定律,电荷守恒：从闭合面S流出净电流=闭合面内单位时间内电量减少！即：,式（1）是电荷守恒（电流连续性）积分方程,（1）,因为闭合面内电量：,将式(a)代入式（1）得：,(a),由散度定理将面积分变为体积分：,(b),将式（c）代入式（b）得：,(c),由式(1)和(2)得稳恒电流连续性方程:,讨论：稳恒电流，即电荷分布(电荷密度)恒定，,（3）,(2)式是电荷守恒（电流连续性）的微分方程！,因为体积V任意，被积函数为零！得：,（2）,式(3)表示：稳恒电流线是闭合线。,3.1.3欧姆定律的微分形式,一段载流I导体，端电压为U，电阻为R，由欧姆定律,式(1)是欧姆定律微分形式！表示：导体内某一点的电流密度正比该点的电场强度。,（1）,欧姆定律积分形式,所以,因为,3.1.4焦耳定律,导体两端的电压为U，电流为I，单位时间内电场力对电荷所作的功电功率,在导体中长度为L、截面为S的体积元，该体积元内消耗功率为,载流导体内任一点的电(热)功率密度为,焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。,式(1)是焦耳定律的微分形式！,（1）,3.1.5恒定电流场的基本方程,载流导电媒质中恒定电流场的基本方程,微分方程,本构关系：,积分方程,（1）,恒定电流场的电位方程,对均匀(电导率为常数)导电媒质，式(d)变为：,式(2)是恒定电流场的电位满足拉普拉斯方程！,（c）,因为,因为,将式（a）和(b)代入式(c)得：,（b）,（2）,（a）,（d）,3.1.6恒定电流场的边界条件,图2,图1,完全类似静电场的边界条件的推导方法，将式(a)和(b)分别用到上面图1和2，得恒定电流场的边界条件：,由恒定电流场积分方程,（1）,（a）,（b）,即,(1)式表示：(a)两导电媒质分界面两侧的电场强度切向分量相等，法向分量不相等！(b)电流密度的法向分量相等，切法向分量不相等！,（1）,完全类似静电场的电位边界条件的推导方法，式(1)用电位表示为,由边界条件(1)，得分界面上的折射定理：,（2）,讨论：,当12，媒质1为良导体，媒质2为不良导体。,因为,上式表示：不良导体2中电力线近似垂直分界面，良导体1表面近似为等位面！,不良导体,良导体,例1.教材P.52同轴圆柱形电缆的内导体半径为a，外导体内半径为b,内外导体间有电导率为的导电媒质。求单位长度的漏电电导。,解：单位长度的同轴电缆内部，沿径向从内导体向外导体通过侧面的电流为I。在r处的电流密度为：,单位长度的同轴电缆的漏电电导：,内外导体间电位差：,介质内在r处的电场强度：,3.1.6恒定电流场与静电场的对比,物理量的对应关系,静电场：恒定电场：,3.2磁感应强度,回路C2上任一线元受磁场力为,回路C1产生的磁感应强度,（1）,回路C2受磁场力为,式（2）是体分布电流产生的磁感应强度。积分在电流分布体积上。,体电流元：,（2）,（a）,将式(a)代入式(1)得：,式（3）是面分布的电流产生的磁感应强度。积分在电流分布面积上。,（3）,面电流元：,将式(b)代入式(1)得：,（b）,3.3恒定磁场的基本方程,3.3.1磁通连续性原理（磁场的高斯定理）,（1）,磁场高斯定理的积分方程:,磁场高斯定理的微分方程！表明磁场是无源场!,（2）,因为体积V任意，被积函数为零！得：,由散度定理将面积分变为体积分：,以闭合线电流的磁场为例来证明方程(1),通过闭合面的磁通量：,闭合线电流的磁场为,（a）,（b）,将式(b)代入式(a)得：,（c）,由矢量恒等式：,因为,（d）,将式(d)代入式(c)得：,(e),将式(f)代入式(e)得：,(f),(g),得证！,由矢量恒等式得：,将式(h)代入式(g)得：,(h),（1）,3.3.2安培环路定理,（1）,安培环路定理的积分方程：,因为积分区域S是任意，被积函数为零！有,（a）,将式(a)代入式(1)得,将线积分变为面积分：,真空中恒定磁场的基本方程,微分方程,积分方程,(2)式是环路定理的微分方程，它表明磁场是有旋场，涡旋源是电流！,（2）,例1、电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内。求：（1）导线内外的磁场强度。（2）导线内外磁场的旋度。,解：（1）作一半径为r的圆，用安培环路定律得,导线外ra，,导线内ra，磁场的旋度,导线内rz时，作近似,式(b)变为,当lr时，用公式：,（c）,对式(a)积分，得载流直导线的矢量磁位：,（b）,得：,（d）,将式（d）代入式（c）得长度为l的载流直导线的矢量磁位：,（e）,对无限长载流直导线，不能规定无穷远处为磁矢位的零点，而要规定有限位置处r0处为磁矢位的零点！由式（e）得：,（1）,无限长载流直导线的磁矢位：,由无限长载流直导线的磁矢位求无限长载流直导线的磁感应强度：,将式（1）代入式（f）得：,（f）,例2.教材P.60用磁矢位重新计算半径为a、载流为I的长直圆柱导线的磁场。,解：圆柱内外的电流密度为,ra,ra,磁矢位仅有z分量，它只是坐标r的函数，即,设导线内磁矢位是,导线外磁矢位是，满足方程：,因为，A1必须有限！有C1=0，A1为,（ra）,ra,ra,ra,ra,两次积分上面二式得：,可求出导线内、外的磁感应强度分别为,(a),由,导体外部的磁感应强度：,将式(a)代入(b)得:,由磁场强度切向分量边界条件知：圆柱面上的磁感应强度相等:,导体内部的磁感应强度：,(b),(c),将式(c)代入(a)得:,3.5磁偶极子,载流为I、半径为a的圆电流位于xy平面，将圆电流称为磁偶极子，其磁矩：,求磁偶极子产生的远区磁场。,利用矢量磁位的积分公式求解,利用矢量公式：,P点的矢量磁位：,(c),(a),(b),将式(b)代入式(a)得:,因为,有,(e),远区：,(d),将式(d)代入式(c)得:,(f),(g),因为式(g)积分是对圆面积进行的，积分与r无关!式(g)变为：,将式(f)代入式(e)得:,(h),因为,因为矢量磁位平行xy平面，所以在球坐标系中，它仅有分量！由式(j)得:,(I),将式(I)代入式(h)得:,矢量磁位的直角坐标x,y分量方程为：,x分量：,y分量：,(j),由式(k)得矢量磁位：,(k),(l),载流线圈磁矩,由式(l)矢量磁位求磁偶极子的远区磁场：,(m),电偶极子产生的远区电场：,上面式(1)和式(n)表示：电偶极子的远区电场和磁偶极子的远区磁场形式相同！,将式(l)代入式(m)，得磁偶极子的远区磁场：,（1）,(n),磁介质磁化后，体内和表面有磁化电流，它是由磁介质内分子电流的有序取向形成。,一、介质的磁化,1、均匀介质磁化，介质表面有面磁化电流分布！内部无体磁化电流分布！,2、不均匀介质磁化，磁化产生的磁偶极子的分布也是不均匀的，因此介质,3.6磁介质中的场方程,3.6.1磁化强度,表面有面磁化电流分布！内部有体磁化电流分布！,二、分子电流的磁矩,分子电流的磁矩为,为分子电流，,为分子线圈的面积矢量。,三、磁化强度定义,（1）,3、磁化电流要产生磁场，影响原外磁场分布。,（2）,特殊情况：如磁化介质的体积元V内，所有分子磁矩的大小和方向全相同（都为），单位体积内分子数是n，则磁化强度表为,磁化强度描述介质磁化程度，表示磁化介质中某处单位体积内分子磁矩的和！体积内分子磁矩的和。,3.6.2磁化电流,被磁化介质的体积为V，表面积是S，磁化强度，现计算在介质外部任一点的矢量磁位。,取体积元dV，将其中被磁化介质当成一磁偶极子！其磁矩为，它在处产生的矢量磁位：,对上式积分得整个被磁化介质产生的矢量磁位为,磁偶极子矢量磁位：,（a）,上式中：,利用矢量恒等式：,因为,（b）,将式（b）代入式（a）得:,（c）,（d）,再用矢量恒等式：,将式（d）代入式（c）得:,令得：,（e）,体电流分布的矢量磁位：,比较知：,（f）,将上式与前面的矢量磁位的积分公式,面电流分布的矢量磁位：,将式（e）第二项体积分变为面积分，得:,（g）,体磁化电流的矢量磁位面磁化电流矢量磁位,体磁化电流密度：面磁化电流密度：,S面的外法向单位矢量，由介质指向真空！,（1）,(2),讨论：由磁化面电流密度公式（1）得：两介质分界面（薄层）上的磁化面电流密度为为介质1指向介质2的法向单位矢量！，分别为介质1和介质2的磁化强度。,两介质分界面（薄层）上磁化面电流密度,介质1介质2,3.6.3磁场强度,在真空中，安培环路定理：,为自由电流密度。考虑到磁介质磁化电流的作用，有介质的安培环路定理为：,磁化电流密度。,(a),因为磁化电流密度：,定义磁场强度：,将式(1)代入式(c)，得有介质的安培环路定理的积分方程：,(1),(b),将式(b)代入式(a)得：,(c),(2),3.6.4磁导率,各向同性线性磁介质：,（3）,（1）,式(3)是有介质的安培环路定理的微分方程！,式(2)变为,因为积分区域S是任意，被积函数为零，有,为磁化率，介质的相对磁导率，是介质的磁导率。,3.6.5磁介质中恒定磁场基本方程,积分方程,微分方程,（1）,（2）,讨论：各向同性线性的均匀磁介质，有,对于均匀介质(为常数)，矢量磁位满足泊松方程为,（2）,（3）,例1.P.65半径为a、高为L的磁化介质柱，均匀磁化，磁化强度为常矢量，与圆柱的轴线平行，求体磁化电流和面磁化电流密度。,解：,体磁化电流密度：,在上顶面上z=L，,结论：均匀磁化，体内无磁化电流密度!,在下底面z=0上，,在侧面r=a上，,上顶面上面磁化电流密度：,下底面上面磁化电流密度：,侧面上面磁化电流密度：,例2.教材P.67内导体圆柱半径为a,外导体圆柱壳的内、外半径为b、c。内、外导体流反向的电流I。求磁化电流分布。,解：1、用安培环路定理求各区域的磁场强度：,非均匀磁化!,2、各区域的磁化强度：,3、磁化电流分布：,正磁化电流,介质r=a圆柱面上和r=b圆柱面上的磁化电流等大反向！,负磁化电流,总结：求介质磁化电流分布的方法：第一步：用安培环路定理求介质内的磁场强度。第二步：用求介质内、表面的磁化强度。第三步：用求介质内的体磁化电流密度。第四步：用求介质表面上的面磁化电流密度。,作业:P.771314181920,磁化体电流密度磁化面电流密度,m=MV,磁矩,3.7磁场的边界条件,1、磁感应强度法向分量的边界条件,因为,完全类似静电场的边界条件推导方法得磁场的边界条件！,（2）,将代入式（1），得：,式(1)表明：磁感应强度法向分量在界面两側相等，连续！,式(2)表明：磁场强度法向分量在界面两側不相等，不连续！,（1）,所以,或,因为h0，分界面的薄层内有自由面电流：,2、磁场强度切向分量的边界条件,因为,（b）,（a）,讨论：如分界面上无自由面电流，式(3)变成,或,（4）,（3）,式(3)表明：在两介质分界面上，两侧的磁场强度切向分量不相等、不连续！与分界面上自由面电流有关！,式(4)表明：在两介质分界面上无自由电流，两侧的磁场强度切向分量相等、连续！,将式(b)代入式(a)得：,将式（）和（）写为更一般的矢量形式,(),折射定理(5)表明:磁力线在分界面上要改变方向。,（5）,若两介质分界面上无自由电流，在分界面处的边界条件为,完全类似静电场的推导方法，应用边界条件(1)和(4)得分界面上的折射定理。,由式(a)得：,（a）,若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时21,由e和得:21，及B2B1例如1=10000,2=0，当1=87时，2=1.09，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。,空气,铁磁材料,21B2B1,3.8标量磁位,由,磁场强度是无旋的！类似电场，磁场强度可表为标量函数的负梯度：,1、标量磁位的定义,，在无传导电流(J传导=0)的区域有,（1）,1）均匀磁介质（=常数）,2、标量磁位满足的方程,（2）,称为磁场的标量磁位（磁标位)！与电场中电位对应！负号是为了与静电位对应，人为加的。,因为,将式(b)代入式(a)得：,（a）,（b）,2）标量磁位的边界条件,可用磁标位表示。,（3）,式(2)是均匀介质内无传导电流分布时，磁标位满足拉普拉斯方程。,磁场的边界条件：,因为,将式(b)代入式(a)得：,（a）,（b）,类似电位,)均匀磁介质内无传导电流时，磁场的求解方法:第一步：求解磁标位拉普拉斯方程边值问题；第二步：求得磁标位分布后，再由，求磁场强度。,求解磁场的标量磁位和静电场的电位的拉普拉斯方程的边值问题相同！,非均匀介质内无传导电流时(J传导=0),4）不均匀磁介质（常数）,因为,（c）,（a）,（b）,将式(b)代入式(a)得：,式（5）表示：不均匀介质内无传导电流时，磁标位满足泊松方程。,类似电场,在不均匀介质内,定义体磁荷密度：,（4）,（5）,将式(4)代入式(c)得：,在不均匀两种介质分界面上，标量磁位的边界条件：,（d）,类似电场,在分界面上,定义面磁荷密度：,因为,可用磁标位表示。,（e）,将式(e)代入式(d)得：,（6）,（7）,类似电位,3.恒定磁场与静电场比较在的区域，引入磁标位，将静电问题的求解方法应用到恒定磁场问题中！,3.10磁场能量,磁场能量有两种观点：1)电流系统具有磁能；2)磁能存在于磁场所在的空间，即磁场具有磁能。,电流系统的磁场能量=各电流体的自能+各电流体间相互作用的互能！电流体的自能：将电流体的电流从0增加到稳定值I过程外界所作的功！各电流体间的互能：保持各电流体的电流不变！将各电流体从无限远离状态移到现位置过程外界所作的功！,1、N个电流回路的磁场能量,电流系统的磁场能量是在建立电流系统的过程中，外源反抗电路中的感应电动势所作的功！,1）两个电流回路的磁场能量两回路最终电流为I1、I2。回路1电流从0增加到I1的过程，电源作功：,（a）,I1,回路1,回路2,电源1,回路1电流I1保持不变时，使回路2的电流i2从0增到I2过程，回路2自感电动势大小为回路1的互感电动势大小为,在dt时间内，电源1和2作功：,电源1,回路2,回路1,电源2,I1,i2,1互,2自,（b）,（c）,（d）,将式(b)和(c)代入式(d)，得,积分式(e)得：回路2电流从零到I2的过程，电源1和2作功：,（e）,（f）,由式(a)和(f)得：回路1和2的电流从零到I1和I2的过程，电源1和2作总功：,式(1)是两个载流线圈具有的磁场能量。,（1）,回路1的总磁通：回路2的总磁通：,回路1自能回路2自能回路1和2互能,式（g）中：,（g）,回路1,回路2,回路1和2在回路上产生的矢量磁位。,回路的总磁通：,（3）,将式(g)代入(1)，得,（2）,（h）,将式(h)代入式(2)，得,2）N个电流回路系统的磁场能量,将式(3)推广到N个回路，得N个回路系统的磁场能量：,（4）,2、连续体分布电流的磁场能量,第i个回路Ci的电流元：,将式(a)代入式(4)得：,(a),将体分布电流系统分成N个回路！,（5）,因为,（6）,(b),将式(b)代入式(5)得：,式(6)中:连续电流体在电流元处产生的磁矢位,是电流密度。V是电流分布的体积！,3、磁场能量密度,完全类似静电场的能量用电场场量D和E表示，磁场能量用磁场场量B和H表示！,电流分布在体积V/内，磁场的能量为,无电流,有电流,：整个磁场分布体积！,再利用矢量等式,因为,将式(b)代入式(a)得：,(a),(b),(c),(d),将式(d)代入式(c)得：,式中,是整个磁场所在的体积，应为无穷大，故该体积的边界面S在无穷远处。分布在有限区域内的电流（看成电流元）在无穷远处产生的磁矢位和磁场强度为：,(e),因此,当时，有,式(1)为磁场能量表达式!,(1),在上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零，理由完全同静电场能量的情况！,(f),将式(f)代入式(e)得：,(2),磁场能量体密度：,(g),讨论：各向同性线性介质：,将式(g)代入式(2)，得各向同性线性介质的磁场能量体密度：,(3),例1、教材P.74无限长圆柱导体半径为a，电流为I。求导体单位长度的内自感。解：导体内的磁感应强度为,单位长度导体内的磁场能量为,导体单位长度的内自感为,第6次作业:P.781721232226,磁化体电流密度磁化面电流密度,磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，因为由式可见，将有无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。,边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，即磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。,例2求一对载相同电流、但流向相反的的载流直导线的磁场。,解:,在圆柱坐标中,2）理想介质与良导体,电导率为无限大的导体称为理想导电体。在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流，所以在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的