几何概率的性质及其应用毕业论文

题 目： 几何概率的性质及其应用 姓 名： 学 号： 系 别： 专 业： 年级班级： 指导教师： 职称： 2010年 月 日毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文内容不涉及国家机密。论文题目：几何概率的性质及其应用作者单位： 作者签名： 2010年 月 日 目 录摘要 1Abstract2引言 31几何概率的定义42几何概率的性质 43. 几何概率的应用 8结束语 15参考文献 16致谢 17 几何概率的性质及其应用摘 要：几何概率问题研究的是“等可能无限”的概率模型，在概率概念的发展中起过重要的作用。几何概率在概率运算和实际应用中占有一定的地位。本文在以下几个方面做了探讨：利用几何概率求两人在某时间段内相见的概率；利用蒲丰投针问题的结论可以求的近似值，本文介绍直接应用几何概率求的近似值。船只停泊码头也是日常生活中常见的现象，本文假设两船不能同时停泊在同一码头，它们在一昼夜到达码头的时刻是等可能的，通过分析作图，利用几何概率也可以得出两只船中任何一艘不需要等待码头空出的概率；对于三段小棒构成三角形、圆周上三点构成钝角三角形、两根都是实数等数学问题及生活中投标射击、检测等问题本文也都进行了介绍。关键词：概率论;几何概率;几何图形Properties and applications of geometric probability Abstract：What the geometric probability research is an equally possible and unlimited probability model, probability concepts in development played an important role. Geometric probability calculation and application of probability occupies a certain position. This article is made in the following areas of: using the geometric probability of a certain period of time the two meet demand probability; use Buffon needle problem of conclusions can seek an approximation of , the direct application of this article describes the geometric approximation of the probability of seeking . Vessel berthing is also a common phenomenon in daily life, this assumption can not be two ships parked in the same terminal at the same time, they reach the terminal in a time of day and night is possible, by analyzing the mapping, using the geometric probability can be obtained in two boats Any one need not wait for the probability of vacant terminals; for three paragraphs constitute a small stick triangle, circle three form an obtuse triangle, two are real life, such as math problems and tender shooting, testing and other issues have also conducted this article Introduction. Keywords: probability;geometric probability;geometric graphics引言概率是描述事情发生可能性大小的数量指标，它是逐渐形成和完善起来的。最初人们讨论的是古典概率试验中事件发生的概率，古典概率的定义要求试验满足有限性与等可能性，这使得它在实际应用中受到了很大的限制。当试验中样本点有无穷不可数多个时，再求概率问题，古典概率就不太适用了。为了克服定义的局限性，人们又引入概率的几何定义，即几何概率。几何概率具有以下两个基本特征：（1）样本空间包含无穷多个样本点，而每个样本点由几何空间中的某一区域内的随机变量来确定;(2) 各个样本点的发生是等可能的。几何概率的计算要用到度量空间中的维数和测度，线的测度是其长度，平面图形的测度是其面积，立体图形的测度是其体积，在利用测度计算几何概率的时候，关键是分析基本事件所对应的区域的维数，从而转化为相应维数的测度比，而与其形状、位置无关。1.几何概率的定义1.1 概率的公理化定义设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件，定义在上的一个实值函数满足：（1） 非负性公理 若 ，则；（2） 正则性公理 =1；（3） 可列可加性 若互不相容，有=，则称为事件的概率，称三元素（）为概率空间。1.2几何概率的定义设是 n 维空间的勒贝格( L e b e s g u e ) 可测集，具有有限的测度( )0 ，L ()表示的勒贝格测度，现向中等可能地投掷一点M，即M在中均匀分布， 那么M落在可测集 ()中的可能性与的测度成正比,而与的形状无关。则M落在中的概率为 =，表示的勒贝格测度。( 这里的测度在一维空间中指有限区间的长度、二维空间中指可求积的平面区域的面积，三维空间中指可求积空间区域的体积等。) 几何概率的性质几何概率是概率的一种，它具有概率的所有性质。性质 2.1 证明：由于可列个不可能事件之并仍是不可能事件，所以 因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由可列可加性公理得 从而由=1得 再由非负性公理，必有性质 2.2 若有限个事件互不相容，则有证明：对,应用可列可加性得 = =即性质 2.3 对任一事件，有 = 证明：因为与互不相容，且，所以由概率的正则性和有限可加性得 由此得 =性质 2.4 若则证明：因为，所以，且与互不相容，由有限可加性得即得推论 若，则但以上推论的逆命题不成立，即由，无法推出性质 2.5 对于任意两个事件，有证明：因为且所以由性质2.4得性质 2.6 对任意两个事件，有 （2.6.1）对任意个事件有 （2.6.2） 证明：先证（2.6.1）式 因为，且与互不相容，所以由有限可加性和性质2.5得 下面用归纳法证明（2.6.2）式当=2时，（2.6.2）式即为（2.6.1）式。设（2.6.2）式对成立，则对，先对两个事件与用（2.6.1）式 = 然后由归纳假设，对)及进行展开，经过整理合并可知（2.6.2）式对也成立。推论：对任意两个事件，有 对任意个事件，有定义 2.1 （1）对中任一单调不减的事件序列称可列并为的极限事件，记为。（2）对中任一单调不增的事件序列称可列交为事件的极限事件，记为。定义 2.2 对上的一个概率（1） 若它对中任一单调不减的事件序列均成立，则称概率是下连续的。（2）若它对中任一单调不增的事件序列均成立 ，则称概率是上连续的。性质 2.7 若为事件域上的概率，则既是上连续的，又是下连续的。证明：先证的下连续性。设是事件域中一个单调不减的事件序列，即。若定义，则。由于，显然两两不相容，由可列可加性得又由有限可加性得所以 。即是下连续的。再证是上连续的。设是单调不增的事件序列，则是单调不减的事件序列。由概率的下连续性得由此得。即是上连续的。性质 2.8 若是上满足的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是（1）它是有限可加的（2）它是下连续的。证明： 必要性可以由性质2.3与性质2.7获得，下证充分性。设，是两两不相容的事件序列，由可列可加性可知：对任意有限的都有。这个等式的左边不超过1，因此正向级数收敛即 （2.8.1）记，则是单调不减的事件序列，所以由下连续性可得 （2.8.2）结合（2.8.1）和（2.8.2）式即得可列可加性。.几何概率的应用3.1 会面问题例3.1.1两人约定于0到时在某地方相见，先到者等（）时后即可离去，求两人能相见的概率。解：以分别表示甲、乙两人到达约会地点的时刻，表示“两人能会面”因为两人分别在0到时刻到达是等可能的，故问题可以看作几何概率问题，即看作在平面区域内均匀投点，两人相见这一事件可表示为0，0且为边长为的正方形，由几何概率的定义，两人能会面的概率为 结果表明：按此规则约会，两人能见面的概率不会超过，若把约会时间往前提一些，其他不变，则会提高两人会面的概率。也告诉大家，若想会面成功率大，应尽量缩小会面时间范围。例3.1.2甲，乙两人约定在中午1 时到下午2时之间到某站乘公共汽车， 又知这段时间内有4班公共汽车。设到站时间分别为 1 ：15 ，1：30 ，1：45，2：00 。 如果他们约定：( 1 )见车就乘； ( 2 ) 最多等一辆。试求甲，乙两人同乘一辆车的概率，假设甲，乙两人到达车站的时间是相互独立的。且每人在中午1时到下午2时的任意时刻到达车站是等可能的。 解：设分别表示为甲、乙两人到达的时刻，则样本空间为， ，满足这些条件的图形为图中大正方形，其面积（）1.( 1 ) 设 甲、乙见车就乘，同乘一车的事件为A， 则有利事件 A的情形必须满足甲乙两人在同一时间段 ( 1：0 01：1 5或 1 ：1 51：3 0 或 1：3 01 ：4 5 或 1：452 ：00 ) 等车，则满足事件的图形如图 1阴影部分，其面积 4（）= ，代入公式）=0.25.（2）设甲、乙最多等一辆车，同乘一车的事件为B，这又分三种情况： 见车就乘的情况( 已在( 1 )中求出) ； 甲先到达等一辆车，与乙同乘一车( 如图2) ； 乙先到达等一辆车，与甲同乘一车( 这类似于) 在 中，必须满足如果甲在1 ：001 ：15到达，乙就在 1 ：151 ：30到达 如果甲在1 ：151 ：30到达，乙就在1 ：301 ：45到达，如果甲在 1：301：45到达，乙就在 1：452：00到达，如图2阴影部分面积 3 ， 综上，代入公式。2：001：451：301：151：001:001:151:301:452:001:001:151:301:452:00x1:001:151:301:452:00y图1图2xyOO说明：本题有别于例3.1.1，是例3.1.1的一种变形，例3.1.1是几何概率中一种常见的约会问题，这类问题往往利用线性规划知识解决。例3.1.2与约会问题类似，但有区别，可认为是约会问题的一种变形，解决此问题是分别做出事件的所在区域，利用数形结合，再结合几何概型知识解决的。3.2 求近似值蒲丰投针问题的结果曾被人多次用来计算的近似值。做次蒲丰投针（充分大），表示平行线间的距离，表示针的长度，表示与平行线相交的次数，频率表示相交概率，则的近似值可以用表示，即得。除此之外还可以根据这个试验再设计一个简单的实用的试验来求的近似值。例3.2.1 平面直角坐标系中，以O ( 0，0 ) ， A ( 1 ，0 ) ， C ( 1 ，1 ) ， B( 0 ，1 ) 为四个顶点做一个正方形，其面积=1 ，以圆点O为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为:=， 在这个正方形内随机的投入个点，设其中有个点落在单位扇形内，则 ,即。只要实际做次(相当大时) 投点实验，观察，的值，就可由上式算出的近似值。3.3不需要等待码头空出问题例3.3.1 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的。如果甲船停泊的时间为1小时，乙船停泊的时间为2小时，求它们中的任一艘都不需要等待码头空出的概率。y解： 设甲、乙两船到达该码头的时刻分别为，A为“两船都不需要等待码头空出”， 24则024，024，且样本空间为：要使两船1都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙24O2x早到达1小时以上或乙比甲早到达2小时以上，即，故A=， 图3即A为图3中阴影部分，为边长为24的正方形，由几何概率定义，所求概率为=3.4 三段小棒构成三角形问题例3.4.1 将长为L的棒随即折成三段，求3段构成三角形的概率。解：设A=“三段小棒构成三角形”，分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L且样本空间为=要使3段构成三角形，当且仅当任意2段之和大于第3段，即yL也即 ，故A为L/2A= xL从而为等腰直角三角形，腰长为L，A为O L/2图4图4中阴影部分，由几何概率定义, 所求概率为 P（A）=。 3.5 圆周上3点构成钝角三角形问题y例3.5.1 在单位圆（半径为1的圆）的圆周上随即去3点，求3点构成钝角三角形的概率。2解： 设所取3点将圆周分成3段，其中两段弧长为，则第 3段弧长为2，再设A=“3点构成钝角三角形”，2x则样本空间为O图5 =A=即为直角边长是2的直角三角形，A为直角边长为的直角三角形。如图5所示，由几何概率定义，P（A）=，从而所求概率为P（）=3.6 两根都是实数问题例3.6.1 在区间-1,1上任取两点求二次方程的两根都是实数的概率。分析：所满足的条件就可由动点M（）所在平面区域确定，属于几何概型。解：设点M（），由已知得M（）必满足 y1-1O1x-1 图6化简得 ，点M（）所在平面区域如图6阴影部分所示，表示坐标原点为圆心，1为半径的圆与边长为2的正方形之间的部分，故所求概率P=。本题并没有几何图形，而是根据问题中涉及两个变量，通过挖掘变量之间的关系，做出图形，转化为几何问题，从而解决问题。3.7 投标射击问题例3.7.1 如图7，在墙上挂着一块边长为 16 c m的正方形木板，上面画了小、 中、大三个同心圆，半径分别为 2 c m、4 c m、6 c m，某人站在 3 m之外向此板 投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问： ( 1 )投 中大圆内的概率是多少? ( 2 ) 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少? ( 3 ) 投中大圆之外的概率是多少? 分析：投中正方形木板上每一点( 投中线 上或没投中都不算) 都是一个基本事件， 这一点可以是正方形木板上任意一点， 因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的 可能性都相等，所以投中某一部分的概率只与这部分的几何度量( 面积 )有关，这符合几何概型的条件 解： 记 A= 投镖击中大圆内) B= 投镖击中小圆与中圆形成的圆环) C= 投镖击中大圆之外) S=S=S= P（B）= 图7P（C）= 3.8 检测问题例3.8.1 在500 ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2 ml 水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率。 分析： 由于草履虫在水中什么位置是随机的，而取水样也具有随机性，所以取哪一部分水样的可能性相等，所以取到草履虫的概率只与所取水样的体积有关，这符合几何概率的条件 解： 记事件A= 在取出的2 ml 水样中有草履虫，由几何概率公式得P ( A ) =。例3.8.2 在1 L高产小麦种子中混入了粒带麦锈病的种子， 从中随机取出1 0 m l ， 含有麦锈病种子的概率是多少?解： 记事件 A= 取出 1 0 ml 麦种含有麦锈病种子 由几何概率公式得 P ( A )=即含有麦锈病种子的概率是 00 1 结束语 几何概率是一类在可测集中均匀投点，计算这些点落在某一区域的概率问题，此类问题的概率是用可测集的测度表示的。好多实际问题我们又都可 以将它用几何图形表示出来，那么要计算其概率只要满足问题所涉及的试验的样本空间包