函数_二阶不动点_问题的求解策略_以2013年高考数学题为例_徐明

函数/ 二阶不动点0问题的求解策略 ) 以 2013 年高考数学题为例 徐 明 (江苏省东海县教师进修学校, 222300) 我们先看 2013 年高考数学江西卷理科第 21 题 以及官方提供的解答(这里仅研究第(2)问的相关问 题): 试题 1 (2013 年高考数学江西卷理科第 21 题) 已知函数f ( x )= a(1- 2| x - 1 2 | ), a 为常数且 a 0. (1)( 3)略; (2) 若 x0满足 f (f ( x0) )= x0, 但 f ( x0) X x0, 则 x0称为函数f ( x )的二阶周期点, 如果f ( x) 有两 个二阶周期点 x1, x2, 试确定 a 的取值范围. 原解答 ( 1)(3)略; (2) 当 0 1 2 , 所以 f (f ( x )= x 有解集 x | x 1 2 , 又当 x 1 2 时, f ( x) = x , 故 x| x 1 2 中的所有点都不是 二阶周期点. 当 a 1 2 时, 有 f (f ( x) )= 4a2x, x 1 4a, 2a- 4a2x , 1 4a 1 2 . 我想命题者的解答是基于如下的解题策略: 先 通过函数迭代, 求出函数 f ( f ( x ) ) 的解析式, 再化 归为方程 f (f ( x ) = x 的解的问题. 这种解法的优 点是思路清晰, 但最大缺点就是函数迭代的复杂性. 因为 本题 中 的函 数是 一 个分 段函 数, 所以 求 f (f ( x )的解析式不是一蹴而就的事. 正如解答所 示, 求f (f ( x ) 的解析式不仅需要分类讨论, 而且讨 论相对比较麻烦, 既要考虑 x 与 1 2 的大小关系, 还 要兼顾 2ax 与 1 2 , 2a(1- x ) 与 1 2 的大小关系, 分段 十分复杂(由 a 1 2 时f (f ( x ) )解析式的结构可见 一斑). 实际上, 解答呈现的只是命题者思考的结果, 而这个思考过程对考生的运算能力、 分类讨论、 转化 与化归能力都提出了较高的要求. 一般地, 对于定义在区间 D 上的函数 y = f ( x) . 若存在 x0I D, 使得 f ( x0) = x0, 则称 x0 是函数f ( x )的一阶不动点, 简称不动点; 若存在 x0I D, 使得 f (f ( x0) = x0, 则称 x0是函数f ( x) 的二阶不动点. 本考题中的/ 二阶周期点0就是指非 / 一阶不动点0的/ 二阶不动点0. 问题是上述的解题 过程非常复杂, 这类求解/ 二阶不动点0的数学问题, 其求解策略是否可以进一步优化? 特别是, 是否可 以避免进行函数迭代呢? 55 #复习参考# 数学通讯 )2013 年第 10 期 ( 下半月) 再看一道高考题: 试题 2 (2013 年高考数学四川卷文科第 10 题) 设函数f ( x) =ex+ x- a ( a I R, e 为自然对 数的底数). 若存在 b I 0, 1 使 f (f ( b) = b 成立, 则实数 a 的取值范围是( ) (A) 1, e . (B) 1, 1+ e . (C) e, 1+ e .(D) 0, 1 . 显然, 本题中直接进行函数迭代, 去研究方程 e eb+ b- a+ eb+ b- a- a= b 解的问题是非常 困难的. 因为函数迭代只能使函数结构复杂化, 所以 优化求解策略的关键是尽量不进行函数迭代, 相反 应该把迭代的过程进行拆分, 考虑引进中间变量, 化 一个一元方程为两个二元方程来求解. 试题 2 的解 设 f ( b)= c, f ( c)= b. 若 b c, 则 f ( c) f ( b), 这与函数f ( x ) = ex+ x - a是增函数矛盾; 若 b 1 2 . 设 x1为函数f ( x) 的二阶周期点, 则有 f ( x1) = x2( x1X x2), 且 f ( x2) = x1. 此时有 f ( f ( x2) )= f ( x1) = x2, 即 x2也是函 数f ( x )的二阶周期点. 又因为 a 0, f ( x ) 在区间( - , 1 2 上是单调 增函数, 所以 x1, x2不可能都在区间( - , 1 2 上, 即应有 x1 1 2 x2或 1 2 x1 x2. 若 x1 1 2 x2, 则有 2ax1= x2, 2a(1- x2) = x1, 解 得 x1= 2a 1+ 4a2 , x2= 4a2 1+ 4a2 , 由 2a 1+ 4a2 1, 解得 a 1 2 . 参考文献: 1 彭家麒. 函数的不动点和稳定点 J. 数学教学, 2011(7). ( 收稿日期: 2013- 06- 26) 自主招生中以高等数学知识为背景的数列题 何 世 得 ( 华东师大数学系, 200062) 范 端 喜 ( 华东师大二附中, 200241) 数列是高中数学的重要内容, 在高等数学中也 占有重要的地位, 因此是沟通高等数学和初等数学 的重要桥梁, 在自主招生考试中备受命题者青睐. 本 文对近年来自主招生考试中涉及高等数学知识的数 列题做一归纳和评析, 供各位读者参考. 1 以数列极限的 E -N 定义为背景的数列题 设 an为数列, a 为定数. 若对任给的正数 E , 总存在正整数 N , 使得当 n N 时有| an- a| N 时, 有| f ( n) - a| 0 且为 常数). (1) 求证: 对任意正数 M 存成N I N*, 当 n N 时, 有 an M. (