函数的连续性与间断点

第 6 次课 2 学时上次课复习：1、两个重要极限 2、无穷小的比较 本次课题（或教材章节题目）：第九节： 函数的连续性和间断点教学要求：掌握函数在某点连续的定义，理解函数在区间上连续的概念，会求函数的间断点及判别其类型。重 点：连续的概念，求间断点难 点：求某些函数的间断点及分类教学手段及教具：讲授讲授内容及时间分配:函数在某点连续的定义 25分钟区间上连续的概念 15分钟函数的间断点及分类 15分钟 例题 35分钟课后作业P80-81 1. 2. 3.参考资料 1.9 函数的连续性与间断点一、函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。1函数的增量一个变量u 由初值 变到终值 ，终值与初值之差称为u的增量( 或改变量)，记作 对于函数，设它在及的某个邻域内有定义，在处给自变量 x 一个增量，则函数有相应的增量（几何解释）解：（略）2函数的连续性如果自变量 x 的增量 很小时，函数y 的增量 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。定义 1：设在的某邻域内有定义，如果当自变量x 在的增量时，相应函数的增量，就称函数在 点处连续。注 ：在点连续。例2 ：证明函数在x=1 处连续。证明：函数的定义域为，在x=1 的邻域内有定义。（类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。）定义2：设在的某邻域内有定义，如果 时f(x)的极限存在，且等于它在的函数值,即，则称 f(x) 在点连续。 左（右）连续：若，就称在点左连续。若，就称在点右连续。 如果在区间上的每一点处都连续，就称在上连续；并称为上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。 连续函数的图像是一条不断开的曲线。定义1：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点连续。 定理：在点连续在点既左连续，又右连续。【例3】多项式函数在上是连续的；所以，有理函数在分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。以上由1.6【例2】的推论1、推论2即得。【例4】不难证明在上是连续的。【例5】证明在点连续。证明：，又，所以由定理 在点连续； 或由前1.4习题5知，所以 在点连续。【例6】讨论函数 在的连续性。解： ，因为，所以该函数在点不连续，又因为，所以为右连续函数。二、函数的间断点 通俗地说，若在点不连续，就称为的间断点，或不连续点，为方便起见，在此要求的任一邻域均含有的定义域中非的点。间断点有下列三种情况：（1）在没有定义；（2）不存在；（3）虽然存在，在点也有定义，但。几种常见的间断点类型：【例7】设，当，即极限不存在，所以为的间断点。因为，所以为无穷间断点。【例8】在点无定义，且当时，函数值在与之间无限次地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。1. 均为振荡间断点。2、 不连续，连续。【例9】 在点无定义，所以为其间断点，又，所以若补充定义，那么函数在点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。【例10】 例6的函数在点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于的，这种间断点称为跳跃间断点。例如在处即为跳跃间断点。归纳：(1)，为无穷间断点； (2)震荡不存在，为震荡间断点； (3)，为可去