分离变量-波动方程

分离变量法一 波动方程波动方程 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 预备知识预备知识常微分方程的求解公式常微分方程的求解公式 2 2 ( )( )( ) ( )( ) P x dxP x dxP x dx y xCeeQ x edx 一阶非齐次一阶非齐次常微分方程常微分方程： ( )( ), dy P x yQ x dx 通解为通解为： 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 3 3 预备知识预备知识常微分方程的求解公式常微分方程的求解公式 ( )( )( )yP x yQ x yf x 21 112212 ( ) y fy f y xC yC yydxydx WW 二阶非齐次二阶非齐次的常微分方程的常微分方程： 通解为通解为： 其中其中 12 12 0. yy W yy 12 ( )( )0.yP x yyQ x yy两个线性是无关的解和 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 4 4 预备知识预备知识常微分方程的求解公式常微分方程的求解公式 二阶常系数齐次二阶常系数齐次常微分方程常微分方程：0ypyqy 其特征方程为其特征方程为： 2 0rprq ，特征根为特征根为： 12. rr， (1)若特征方程有若特征方程有两个不等的实根两个不等的实根: 齐次方程通解为齐次方程通解为： 12 . r xr x yAeBe 12 ,riri ( )( cossin). x y xeAxBx 1 (). r x yABx e (2)若特征方程有若特征方程有两个相等的实根两个相等的实根: 齐次方程通解为齐次方程通解为： (2)若特征方程有若特征方程有一对共轭复数根一对共轭复数根: 齐次方程通解为齐次方程通解为： 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 5 5 预备知识预备知识Fourier级数级数 定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin xco.,s,nx,sinnx 1xnxdcos 1xnxdsin0 coscosd0kxnx x 0dsinsin xxnxk , 在上正交正交 , ,上的积分等于上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在 0dsincos xxnxk )(nk 一一、三角函数系的正交性三角函数系的正交性 1,2,.n 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 上的积分不等于上的积分不等于 0 . , 2d11 xxxn dsin 2 xxn dcos 2 且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 1 , 2 cos , x sin , x sin , nx 组成一标准正交系组成一标准正交系 6 6 1,2,.n cos ., nx 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 二二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有 ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 7 7 叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为 的的傅傅里里叶系数叶系数 ;由公式由公式 确定的确定的 nn ba , 以以)(xf )(xf 的傅的傅里里 的的傅傅里里叶级数叶级数 . 称为函数称为函数)(xf 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的 周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点为间断点 其中其中 nn ba ,为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点 8 8 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 设设周期为周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 1 0 sincos 2 )( n nn l xn b l xn a a xf (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) n a x l xn xf l b l l n dsin)( 1 其中其中 定理定理4. l 1 x l xn xf l l dcos)( ),2, 1,0(n ),2, 1(n 9 9 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 注注 1 )( n n bxf (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) l xn sin ),2, 1(dsin)( nx l xn xfbn 其中其中 0 l l 2 如果如果 f (x) 为为偶偶函数函数, 则有则有 (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) 其中其中 2 )( 0 a xf 1n n a l xn cos ),2, 1,0(dcos)( nx l xn xfan l 2 0 l 如果如果 f (x) 为为奇奇函数函数, 则有则有 1010 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 当函数定义在任意有限区间上时当函数定义在任意有限区间上时, 方法方法1, , )(baxxf 令令 , 2 ab zx 即即 2 ab xz z ab zfxfzF, ) 2 ()()( 2 , 2 abab 在在 2 , 2 abab 上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数)(zF 周期延拓周期延拓 将将 2 ab xz )(xf 在在 ,ba 代入展开式代入展开式 上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法: 1111 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 方法方法2, , )(baxxf zazfxfzF, )()()( ab,0 在在ab,0上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦级数级数)(zF 奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓 将将代入展开式代入展开式axz )(xf在在,ba 即即 axz 上的上的正弦正弦或或余弦余弦级数级数 令令xza 1212 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 分离变量法分离变量法 分离变量法又称分离变量法又称FourierFourier级数方法级数方法，而在波动方程情而在波动方程情 形也称为形也称为驻波法驻波法。它是解决数学物理方程定解问题它是解决数学物理方程定解问题 中的一种基本方法中的一种基本方法，也是最常用的方法也是最常用的方法。这个方法这个方法 建立在叠加原理的基础上建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学其基本出发点是物理学 中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动 的叠加的叠加。 数学想法数学想法： 把偏微分方程求解问题转化为常微分方程求解问题把偏微分方程求解问题转化为常微分方程求解问题 1313 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 第一节第一节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 22 2 22 ,(0, ),0 ( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 t uu axl t tx u xx u xxxl utu l tt 考虑一根长为考虑一根长为l l的弦的弦，两端固定两端固定，给定初始位移和给定初始位移和 速度速度，在没有强迫外力作用下的振动在没有强迫外力作用下的振动 方程本身和边界条件都是齐次的方程本身和边界条件都是齐次的 1414 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程1515 2 ( )( ) (x) ( )X x T ta XT t 第一步第一步：分离变量分离变量 ( , )( ) ( )u x tX x T t 2 ( )( ) ( )( ) T tXx a T tX x 希望求得的特解具有分离变量的形式希望求得的特解具有分离变量的形式，即即 把分离变量形式解代入方程把分离变量形式解代入方程，得得 两端除以两端除以( ) ( )X x T t有有 注注：假设假设X(x)和和T(t)不恒等于零不恒等于零，即即u(x,t)不恒等于零不恒等于零。 恒等于零的称为平凡解恒等于零的称为平凡解，不具研究价值不具研究价值。 (0) ( )( ) ( )0XT tX l T t 及边界条件及边界条件 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 上述第一个等式左端是上述第一个等式左端是t的函数的函数，右端是右端是x的函数的函数， 因此两端只能是常数因此两端只能是常数，记为记为 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l X(x): 2 ( )( )0TtaT tT(t): (0) ( )( ) ( )0XT tX l T t . 2 ( )( ) ( )( ) T tXx a T tX x 从而有从而有 固有值问题固有值问题 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程1717 0 ( ), xx X xAeBe 0,AB 0 ll AeBe 0AB 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 分三种情形讨论分三种情形讨论 情形一情形一： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 只有零解只有零解（舍舍） 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程1818 0 ( ),X xABx 0AB 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 情形二情形二： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 只有零解只有零解（舍舍） 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 由边界条件由边界条件X(0)=0得得 1919 0 ( )cossin,X xAxBx 0,A 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 情形三情形三： 通解为通解为 由边界条件由边界条件X(l)=0得得sin0Bl 为了使为了使0B 必须使必须使sin0l , (1,2,3,).lkk 22 2 , (1 2 3). k k k, , , l ( )sin, (1,2,) kk k XxBxk l 于是于是 固有值固有值 固有函数固有函数 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 22 2 , (1 2 3) k k k, , , l ( )cossin, (1,2,) kkk k ak a T tCtDtk ll ( , )( )( )=cossinsin C , D , kkkkk kkkkkk k ak ak ux tXx T tatbtx lll aBbB (1,2,)k 22 2 2 0, (1,2,3,) k TaTk l 2020 第三步第三步：求特解求特解，并进一步叠加出一般解并进一步叠加出一般解 2 ( )( )0TtaT t 把固有值把固有值 代入方程代入方程 得得 通解为通解为 由此得到方程满足边界条件的变量分离的由此得到方程满足边界条件的变量分离的特解特解 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 ( , ) k ux t 1 1 ( , )( )( ) cossinsin kk k kk k u x tXx T t k ak ak atbtx lll 所有的所有的叠加起来得叠加起来得一般解一般解 2121 注注：该一般解不仅满足偏微分方程该一般解不仅满足偏微分方程 22 2 22 uu a tx 而且满足齐次边界条件而且满足齐次边界条件(0, )( , )00,()utu l tt 但未必满足初始条件但未必满足初始条件 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 第四步第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解值条件的解 2222 1 ( , )cossinsin kk k k ak ak u x tatbtx lll ( ,0)( ),( ,0)( ),0, t u xx u xx xl回顾初始条件为回顾初始条件为 由一般解由一般解 得得 1 ( )( ,0) sin k k k xu xax l 1 ( )( ,0) sin k t k k a bk xuxx ll 注意到注意到 k k a b l ( )x, k a( ),x 即为即为在区间在区间0,l上的上的 傅里叶系数傅里叶系数 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程2323 0 2 ( )sin l k k axx dx ll 0 2 ( )sin. l k k bxx dx k al 所以得到所以得到 代入一般解的表达式得定解问题的解代入一般解的表达式得定解问题的解。 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程2424 驻波驻波 ( , )cossinsin sinsin nnn nnn anann ux tatbtx lll n Ntx l 其中其中 22 ,arctan n nnnn n a Nab b 振幅振幅 固有频率固有频率 初相位初相位 sin n n Nx l n an l n 分离变量法的物理解释分离变量法的物理解释 o l n = 4 与初始条件无关与初始条件无关 由初始条件决定由初始条件决定 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程2525 驻波驻波 ( , )cossinsin sinsin nnn nnn anann ux tatbtx lll n Ntx l 分离变量法的物理解释分离变量法的物理解释 o l n = 4 在在 n xm l 即即,0,1,., m l mn n x 点处点处，振幅为零振幅为零 称为称为波节波节包含两个端点在内包含两个端点在内，波节共有波节共有n+1个个 整个问题的解是这些驻波的叠加整个问题的解是这些驻波的叠加 因此对于波动方程的分离变量法也称为驻波法因此对于波动方程的分离变量法也称为驻波法 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 分离变量法的步骤分离变量法的步骤 2626 第一步第一步, ,分离变量得固有值问题分离变量得固有值问题 第二步第二步，求解固有值问题求解固有值问题 第三步第三步，求全部的特解求全部的特解，并叠加出一般解并叠加出一般解 ( , )( ) ( )u x tX x T t令令适合方程和边界条件适合方程和边界条件，定出定出 ( )X x所适合的常微分方程齐次边值问题所适合的常微分方程齐次边值问题( (固有值问题固有值问题) )，及及 ( )T t适合的常微分方程适合的常微分方程。 求解固有值问题求解固有值问题，求出全部求出全部固有固有值和值和固有固有函数函数. . 求出相应的的求出相应的的T T( (t t) )的表达式的表达式。将所有变量分离形式的特解将所有变量分离形式的特解 叠加起来得一般解叠加起来得一般解。 要求方程和边界条件都是齐次的要求方程和边界条件都是齐次的 第四步第四步，根据初始条件利用固有函数正交性定出所有待定系数根据初始条件利用固有函数正交性定出所有待定系数 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 例例 求解求解 22 2 22 , 0, 0 (0, )( , )0, ( ,0)(), 2 ( ,0)sin t uu atxl tx utu l t u xx lx uxx l 解解: : ( , )( ) ( )u x tX x T t是齐次方程和齐次边界条件的非是齐次方程和齐次边界条件的非 零解零解 令令 0, (0)XXxl (0)( )0XX l 2 0, (0)Ta Tt 第一步第一步, ,分离变量得固有值问题分离变量得固有值问题 则则 2727 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程2828 第二步第二步，求解固有值问题求解固有值问题 0, (0)XXxl (0)( )0XX l 2 0, (0)Ta Tt 22 2 , k k l ( )sin kk k XxBx l ( )cossin kkk k ak a T tCtDt ll 第三步第三步，求全部的特解求全部的特解，并叠加出一般解并叠加出一般解 1 1 ( , )( )( ) cossinsin =,=. kk k kk k kkkkkk u x tXx T t k ak ak atbtx lll aB C bB D 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 0 2 ()sin d l k k ax lxx x ll 0 22 sinsin d l k k bxxx k all ,2 2 0,2 l k a k 2 33 4 1 ( 1) k l k 0 2 ()d(cos) l k x lxx kl 0 2 (2 )cosd l k lxx x kl 22 0 4 sind l lk x x kl 第四步第四步，根据初始条件利用固有函数正交性定出所有待定系数根据初始条件利用固有函数正交性定出所有待定系数 2929 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程3030 1 2 33 1 ( , )( )( ) 41 ( 1) cos sin 22 sin sin 2 kk k k k u x tXx T t lk ak tx kll la tx all 故所求定解问题的解为故所求定解问题的解为 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 31 例例 求解求解 22 2 22 ,(0,0) (0, )0,( , )0, 8 ( ,0)3sin5sin,( ,0)0, t uu axl t tx utu l t xx u xux ll 解解 令令( , )( ) ( ),u x tX x T t代入方程和齐次边界条件可得代入方程和齐次边界条件可得 0, (0)XXxl (0)( )0XX l 2 0, (0)Ta Tt 3131 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 22 2 , k k l ( )sin kk k XxBx l 1 1 ( , )( )( ) cossinsin =,=. kk k kk k kkkkkk u x tXx T t k ak ak atbtx lll aB C bB D 3232 解得固有值和固有函数为解得固有值和固有函数为 ( )cossin kkk k ak a T tCtDt ll 且且 一般解为一般解为 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 33 由初始条件由初始条件, , 可得可得 ( ,0)0 t u x0 k b (1,2,)n 得得 8 ( ,0)3sin5sin xx u x ll 1 8 sin3sin5sin n n n xxx a lll 18 3,5AA 88 ( , )3cossin5cossin atxatx u x t llll 由初始条件由初始条件, , 系数系数 其余系数为零其余系数为零 因此因此，所求定界问题的解为所求定界问题的解为 3333 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 边界条件的混合问题边界条件的混合问题 3434 22 2 22 ,(0, ),0 ( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 t xx uu axl t tx u xx u xxxl utu l tt 对于其他的边界条件也可类似求解对于其他的边界条件也可类似求解 如如 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 3535 (0, )( , )0 xx utu l t 2 ( )( ) (x) ( )X x T ta XT t 第一步第一步：分离变量分离变量 ( , )( ) ( )u x tX x T t 2 ( )( ) ( )( ) T tXx a T tX x 令令 代入方程得代入方程得 两端除以两端除以( ) ( )X x T t有有 (0) ( )( ) ( )0XT tX l T t 及边界条件及边界条件 2 ( )( )0TtaT t 固有值问题固有值问题 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程3636 0 ( ), xx X xAeBe 0,AB 0 ll AeBe AB 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 分三种情形讨论分三种情形讨论 情形一情形一： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 只有零解只有零解（舍舍） ( ), xx XxAeBe 于是于是 0AB 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程3737 0 ( ),X xABx 0B 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题 情形二情形二： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l ( )X xA 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 由边界条件由边界条件 3838 0 ( )cossin,X xAxBx 0,B 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题 情形三情形三： 通解为通解为 由边界条件由边界条件sin0Al 为了使为了使0A必须使必须使sin0l , (1,2,3,).lkk 22 2 , (1 2 3). k k k, , , l ( )cos, (1,2,) kk k XxAxk l 于是于是 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l ( )sincos,XxAxBx 于是于是 (0)0X ( )0X l 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题 3939 固有值固有值 固有函数固有函数 22 2 , 0(,1 2 3). k k k, , , l ( )cos, (,1 ,0 ,2) kk k XxAxk l ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 22 2 , (0,1 2 3) k k k, , , l ( )cossin, (1,2,) kkk k ak a T tCtDtk ll 22 2 2 0, (0,1,2,3,) k TaTk l 4040 第三步第三步：求特解求特解，并进一步叠加出一般解并进一步叠加出一般解 2 ( )( )0TtaT t 把固有值把固有值 代入方程代入方程 得得 通解为通解为 000 ( )T tCD t 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程4141 ( , )( )( ) cossincos , kkk kk kkkkkk ux tXx T t k ak ak atbtx lll aA CbA D 0000000 ( , ),.ux tab taAC bAD 由此得到方程满足边界条件的变量分离的由此得到方程满足边界条件的变量分离的特解特解 第三步第三步：求特解求特解，并进一步叠加出一般解并进一步叠加出一般解 (1, ,) 2k 0 00 1 ( , )( )( ) cossincos kk k kk k u x tXx T t k ak ak ab tatbtx lll 一般解为一般解为 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 第四步第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解值条件的解 4242 00 1 ( , )cossincos kk k k ak ak u x tab tatbtx lll ( ,0)( ),( ,0)( ),0, t u xx u xx xl 由一般解由一般解 得得 0 2 ( )cos l k k axx dx ll 0 2 ( )cos. l k k bxx dx akl 0 1 ( )( ,0) cos k k k xu xaax l 0 1 ( )( ,0) cos k t k k a bk xuxbx ll 0 0 1 ( ), l bx dx l 0 0 1 ( ), l ax dx l 于是于是 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 4343 22 2 22 ,(0, ),0 ( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 t x uu axl t tx u xx u xxxl utu l tt ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 2 1 2 1 2 , ( )cos, 0,1,2,3, n n n l n Xxx l n 对于对于 类似可得类似可得 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 4444 (0, )( , )0 x utu l t 2 ( )( ) (x) ( )X x T ta XT t 第一步第一步：分离变量分离变量 ( , )( ) ( )u x tX x T t 2 ( )( ) ( )( ) T tXx a T tX x 令令 代入方程得代入方程得 两端除以两端除以( ) ( )X x T t有有 (0) ( ) ( )(0XT tX l T t 及边界条件及边界条件 2 ( )( )0TtaT t 固有值问题固有值问题 具体步骤具体步骤 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程4545 0 ( ), xx X xAeBe 0,AB 0 ll AeBe AB 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 分三种情形讨论分三种情形讨论 情形一情形一： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 只有零解只有零解（舍舍） ( ), xx XxAeBe 于是于是 0AB 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程4646 0 ( ),X xABx 0AB 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题 情形二情形二： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 只有零解只有零解（舍舍） 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 由边界条件由边界条件 4747 0 ( )cossin,X xAxBx 0,B 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题 情形三情形三： 通解为通解为 由边界条件由边界条件cos0Al 为了使为了使0A必须使必须使cos0l , (0, 2 1,2,3,).lkk 于是于是 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l ( )sincos,XxAxBx 于是于是 (0)0X ( )0X l 22 2 1 () 2 , (0,1 2 3). k k k, , , l 1 () 2 ( )cos, (0,1,2,) kk k XxAxk l 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 ()() ( )cossin 11 22 , (0,1,2,) kkk kaka T tCtDt ll k 22 2 2 () 0, (0,1,2,3,) 1 2 k TaTk l 4848 第三步第三步：求特解求特解，并进一步叠加出一般解并进一步叠加出一般解 2 ( )( )0TtaT t 把固有值把固有值 代入方程代入方程 得得 通解为通解为 22 2 () , (0,1 2 1 3) 2 k k k, , , l 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程4949 由此得到方程满足边界条件的变量分离的由此得到方程满足边界条件的变量分离的特解特解 第三步第三步：求特解求特解，并进一步叠加出一般解并进一步叠加出一般解 一般解为一般解为 ( , )( )( ) 111 ()()() 222 cossincos ,. kkk kk kkkkkk ux tXx T t kakak atbtx lll aA CbA D 0 0 ( , )( )( ) 111 ()()() 222 =cossincos kk k kk k u x tXx T t kakak atbtx lll 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 第四步第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解值条件的解 5050 0 111 ()()() 222 ( , )cossincos kk k kakak u x tatbtx lll ( ,0)( ),( ,0)( ),0, t u xx u xx xl 由一般解由一般解 得得 0 1 () 2 ( )( ,0) cos k k k xu xax l 0 11 () () 22 ( )( ,0) cos k t k ka bk xu xx ll 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 第四步第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解值条件的解 5151 ( ,0)( ),( ,0)( ),0, t u xx u xx xl 0 (212 ( ) 2 ) cos l k k axx dx ll 0 (24 ( )co 1) ) s. 2(21 l k bx k x ak dx l 于是于是 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 5252 22 2 22 ,(0, ),0 ( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 t x uu axl t tx u xx u xxxl utu l tt ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 2 1 2 1 2 , ( )sin, 0,1,2,3, n n n l n Xxx l n 对于对于 类似可得类似可得 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 5353 (0, )( , )0 x utu l t 2 ( )( ) (x) ( )X x T ta XT t 第一步第一步：分离变量分离变量 ( , )( ) ( )u x tX x T t 2 ( )( ) ( )( ) T tXx a T tX x 令令 代入方程得代入方程得 两端除以两端除以( ) ( )X x T t有有 (0) ( )( ) ( )0XT tX l T t 及边界条件及边界条件 2 ( )( )0TtaT t 固有值问题固有值问题 具体步骤具体步骤 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程5454 0 ( ), xx X xAeBe 0,AB 0 ll AeBe AB 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 分三种情形讨论分三种情形讨论 情形一情形一： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 只有零解只有零解（舍舍） ( ), xx XxAeBe 于是于是 0AB 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程5555 0 ( ),X xABx 0AB 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题 情形二情形二： 通解为通解为 代入边界条件得代入边界条件得 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 只有零解只有零解（舍舍） 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 由边界条件由边界条件 5656 0 ( )cossin,X xAxBx 0,A 第二步第二步：求解固有值问题求解固有值问题 情形三情形三： 通解为通解为 由边界条件由边界条件cos0Bl 为了使为了使0B 必须使必须使cos0l , (0, 2 1,2,3,).lkk 于是于是 ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l ( )sincos,XxAxBx 于是于是 (0)0X ( )0X l 22 2 1 () 2 , (0,1 2 3). k k k, , , l 1 () 2 ( )sin, (0,1,2,) kk k XxAxk l 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 ()() ( )cossin 11 22 , (0,1,2,) kkk kaka T tCtDt ll k 22 2 2 () 0, (0,1,2,3,) 1 2 k TaTk l 5757 第三步第三步：求特解求特解，并进一步叠加出一般解并进一步叠加出一般解 2 ( )( )0TtaT t 把固有值把固有值 代入方程代入方程 得得 通解为通解为 22 2 () , (0,1 2 1 3) 2 k k k, , , l 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程5858 由此得到方程满足边界条件的变量分离的由此得到方程满足边界条件的变量分离的特解特解 第三步第三步：求特解求特解，并进一步叠加出一般解并进一步叠加出一般解 一般解为一般解为 ( , )( )( ) 111 ()()() 222 cossinsin ,. kkk kk kkkkkk ux tXx T t kakak atbtx lll aA CbA D 0 0 ( , )( )( ) 111 ()()() 222 =cossinsin kk k kk k u x tXx T t kakak atbtx lll 第三章分离变量法第三章分离变量法- -波动方程波动方程 第四步第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解值条件的解 5959 0 111 ()()() 222 ( , )cossinsin kk k kak