利用导数研究函数的极值和最值问题

利用导数研究函数的极值和最值问题利用导数研究函数的极值的一般步骤：（）确定函数的定义域（）求（）若求极值，则先求方程 的全部实根，再检验在方程根的左右两侧值的符号，求出极值（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 的根的大小或存在情况，从而求解求连续函数在 上的最大值与最小值的步骤：（）求函数 在内的极值；（）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京,18,13分)设函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求;(2)若在处取得极小值,求的取值范围.解析(1)因为,所以，.由题设知f (1)=0,即,解得.此时.所以的值为1.(2)由(1)得.若,则当时;当时,.所以在处取得极小值.若,则时,所以,所以2不是的极小值点.综上可知,的取值范围是。方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号.(2)已知函数求极值.求f (x)求方程f (x)=0的根列表检验f (x)在f (x)=0的根的附近两侧的符号下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f (x0)=0,且在该点左、右两侧导数值的符号相反.例2.(2017北京,19,13分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.(1)因为,所以,.又因为,所以曲线在点处的切线方程为.(2)设,则.当时,所以在区间上单调递减.所以对任意有,即.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为,最小值为.解题思路：(1)先求导,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,最后利用点斜式求出切线方程。(2)设,对求导,进而确定的单调性,最后求出最值.方法总结1. 求切线方程问题:(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值,即切线的斜率;(2)求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.2.利用导数研究函数的单调性:(1)求出函数的定义域;(2)求出函数的导函数;(3)令得到在定义域内的单调递增区间；令得到在定义域内的单调递减区间.例3.(2014北京,18,13分,0.52)已知函数,.(1)求证:;(2)若，对恒成立,求的最大值与的最小值.解析(1)由得.因为在区间上,所以在区间上单调递减.从而.(2)当时,“”等价于“”,“”等价于“”.令,则.当时,对任意恒成立.当时,因为对任意,所以在区间上单调递减.从而对任意恒成立.当时,存在唯一的使得.与在区间上的情况如下:+0-因为在区间上是增函数,所以.进一步,“对任意恒成立”当且仅当,即.综上所述,当且仅当时,对任意恒成立;当且仅当时,对任意恒成立.所以,若对任意恒成立,则的最大值为,的最小值为.思路分析：(1) 利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,从而证明不等式成立.(2)把不等式进行恒等变形,然后把恒成立问题转化成最值问