利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式的两种通法吉林省长春市东北师范大学附属实验学校金钟植 岳海学利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。一、函数类不等式证明函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式（）的问题转化为证明（），进而构造辅助函数，然后利用导数证明函数的单调性或证明函数的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知，求证：分析：欲证，只需证函数和在上单调递减即可。证明：令 ，其中则，而所以在上单调递减，即所以；令 ，其中则，所以在上单调递减，即所以。综上所述，评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在上是单调递增的函数（如：利用在上是单调递增来证明不等式），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的也可以不是0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：已知，求证：证明这个变式题可采用两种方法：第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式以后，根据来证明不等式；第二种证法：直接构造辅助函数和，其中然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：）例2 求证：分析：令，经过求导易知，在其定义域上不单调，但可以利用最值证明不等式。证明：令函数f(x)的定义域是,(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1x0,当x0时,(x)0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0所以即二、常数类不等式证明常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式的问题，在根据的不等式关系和函数的单调性证明不等式。例3已知求证：分析：证明：令则所以，又因为，所以即即评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子（本例经过转化后的不等式的两边都是相同式子的结构，所以可以构造辅助函数），这样根据“相同结构”可以构造辅助函数。例4 已知，求证：分析：欲证，只需证（不然没法构造辅助函数），即，则需证函数都在函数区间上单调递增即可。证明：设，则由例1知，即，所以在上单调递增，而所以，即，进而得到设，则，又因为，所以，进而在上单调递增，而所以，即，进而得到综上所述三、同步练习题1当时,求证:2已知a,b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底，证明：3已知函数（1）求函数的最小值；（2）若，求证：4求证：参考答案：1证明：要证，只要证, 即证则当时，, 上递增，即成立，原不等式得证2证明：当eab时， 要证， 只要证,即只要证考虑函数。因为当时，所以函数内是减函数因为eab，所以，即得3（1）最小值为0