勒让德(legendre)多项式及其性质

勒让德（legendre）多项式及其性质一 勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 其中为非负实数 （1.1）它的幂级数解如下： （1.2）其中： （1.3） （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，与可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（1，1）内和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）幂级数当时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当取非负整数时，和中有一个便退化为次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间-1,1上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数，所得的多项式称为阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作，下面我们来推导勒让德多项式的表达式。 当为正偶数时退化为次多项式。为求得的表达式，在中我们通过来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式： （1.5）在（1.5）式中取，得： （1.6）习惯上取为 （1.7）于是有： （1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得： （1.9）一般地，我们有 （） （1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的记作，可得： （1.11）这就是当为正偶数时勒让德多项式。 当为正奇数时退化为次多项式，我们把记作，同理可得： （1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得 （1.13）其中表示的整数部分由上述讨论可知，当为非负整数时，和中有一个是阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为： （1.14）特别当时，由（1.11）和（1.12）式得： 它们的图形如下：二 勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数：试将函数 （1.15）展开成的幂级数 （1.16）可以证明级数展开式中的系数恰好是勒让德多项式，最终得到 （1.17）因此称为勒让德多项式的母函数。1 （1.18）将式（1.17）中的以代入，以代入，立即得到此结果。此式说明的奇偶性由而定，当为偶数时，为偶函数，当为奇数时，为奇函数。2 （1.19）将代入式（1.17），得到而所以由上式和（1.18）立即得到 3勒让德多项式的递推公式： （1.20） （1.21） （1.22） （1.23） （1.24）现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数分别对微分，得到得到下列两个恒等式 （1.25） （1.26）又从式（1.25）和（1.26）得到 （1.27）将（1.17）两端分别对微分，得到 （1.28） （1.29）然后将它们带入（1.27），得到于是得到与导数之间的关系式其它的导数公式这里不在一一证明。将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到 这就是递推公式，由，可以推出，由，可以推出，.4勒让德多项