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12.11如图11,PB为O的切线,B为切点,直线PO交O于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交O于点A,延长AO与O交于点C,连接BC,AF(1)求证:直线PA为O的切线; (2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系,并加以证明; (3)若BC6,tanF,求cosACB的值和线段PE的长 ACBDEFOP【答案】解:(1)证明:如下图,连接OB, PB是O的切线,PBO90OAOB,BAPO于D,ADBD,POAPOB又POPO,PAOPBO PAOPBO90直线PA为O的切线(2)EF24ODOP证明:PAOPDA90,OADAOD90,OPAAOP90OADOPAOADOPA,即OA2ODOP又EF2OA,EF24ODOP(3)OAOC,ADBD,BC6,ODBC3设ADx,tanF,FD2x,OAOF2x3在RtAOD中,由勾股定理 ,得(2x3)2x232解之得,x14,x20(不合题意,舍去)AD4,OA2x35AC是O的直径,ABC90而AC2OA10,BC6,cosACBOA2ODOP,3(PE5)25PE12、12如图,AB是O的直径,弦CDAB于H,过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G,连接AG交CD于K (1)求证:KE=GE; (2)若=KDGE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由; (3) 在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长考点:切线的性质;勾股定理;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形。解答:解:(1)如答图1,连接OGEG为切线,KGE+OGA=90,CDAB,AKH+OAG=90,又OA=OG,OGA=OAG,KGE=AKH=GKE,KE=GE(2)ACEF,理由为:连接GD,如答图2所示KG2=KDGE,即=,=,又KGE=GKE,GKDEGK,E=AGD,又C=AGD,E=C,ACEF;(3)连接OG,OC,如答图3所示sinE=sinACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,KE=GE,ACEF,CK=AC=5t,HK=CKCH=t在RtAHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=()2,解得t=设O半径为r,在RtOCH中,OC=r,OH=r3t,CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r3t)2+(4t)2=r2,解
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