泛函历年试题集锦

泛函分析2003试题1、叙述赋范空间完备性的定义；证明：在Banach空间中，绝对收敛级数必收敛。解：（P5定义1.1.4）若赋范空间X中的序列满足如下Cauchy条件：则称为Cauchy列，若X中所有Cauchy列均收敛，则称X为完备赋范空间或Banach空间。证明：Banach空间是完备的赋范空间，令X为Banach空间，收敛，即绝对收敛。那么，令：因为收敛，故余项，即这说明是X中的Cauchy列，因X完备，故收敛，即收敛。2、设，分别求作为空间的元素的范数。（即求时的范数）解：时，时，时，3、设X、Y是赋范空间，。说明连续，并求。解：为数值函数，要证连续，即估计，其中。而由公式（P3公式1.1.5），即（有界，连续，）故连续。4、给定无穷矩阵，求，并估计。解：由命题2.2.2（P76命题2.2.2），5、设，说明。解： 变量代换，令，则：令，则显然，故由（P89定理2.3.3），且：6、设X为Banach空间，连续，是函数，证明：证明：等式两边都是有意义的向量，由（P101推论2.4.7），令，则命题得证。泛函分析2006试题1、（1）设，写出在空间中，序列范数收敛于的定义。（2）设.对的哪些值，序列在空间中范数收敛于零？解：中序列范数收敛于的定义为：，具体而言，即：，假如，要所以，中范数收敛于零的的范围是2、设A是Hilbert空间H的闭子空间，.（1）什么是在A中的最佳逼近？其直观意义如何？（2）设，A是上形如的函数之全体，求在A中的最佳逼近.解：（1）在A的最佳逼近是指，使得，直观意义即是，最佳逼近就是A在上的正投影。（2）设A上基为：，则由：设：，所以而所以，（参考P47例1.5.7）3、（1）写出的范数的表达式并解释其直观意义。 （2）设求序列应满足的条件及.解：（1）范数的表达式为：，其直观意义是：的最大值，即是变换的“最大伸张系数”。（P69）（2）因为.对任意，估计，令，则：故，任取，于是.令，任取，则于是，而，于是，由的任意性得：4、（1）解释什么是对偶空间的表示定理并解释其价值。 （2）设说明，并求.解：（1）对偶空间的表示定理是指，将对偶空间通过表达式使得，其中由f唯一决定，且，于是等距同构于的一系列定理，它将抽象的对偶空间与一个具体的空间等价。（2）因为，变量代换令，因为，所以，所以，（参考P90例2.3.5）5、设X是一复Banach空间，.（1）如何判定算子幂级数的敛散性？（2）设含于椭圆之内，判定级数的敛散性。解：（1）先确定级数的收敛半径，如果，则绝对收敛，如果，则发散。（2）级数的收敛半径为：，而含于椭圆之内，所以，所以绝对收敛。泛函分析XXXX试题1、判定分别在空间中的敛散性。解：（1）在中，空间为完备空间，只需验证为柯西序列故有在为柯西列，又由完备，故在中收敛，且由，故有（2）同理也收敛。（3）在中，故有为中的柯西列，又由的完备性知，有在中收敛，且有（一致收敛）（4）在中，又由以及（5）在中，由2、,求的最佳均方逼近的一次多项式。解：方法一：（次数小于等于1的多项式全体）Gram矩阵，有.方法二：（由P43公式1.5.22）方法三：设3、已知，证明且求证明：显然为线性算子，（其中有，）推出：，根据（P78命题2.2.3），显然为有界线性算子，故有：.又取4、已知，对有，说明，并求出解：由于，因为由的线性性由积分线性性易得，而，故，由定理知.5、已知四个顶点所围的矩形内，判断级数的敛散