合肥工业大学 数学一(第3套)

2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试卷（模拟三）数学（一）试卷（模拟三） 考生注意：本试卷共二十四题，满分 150 分，考试时间为 3 小时 一选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字 母填在题后的括号内。 (1)设 0 lim( ) xx f x = ，且在点 0 x的某邻域内( )g xM ，其中 M 是大于零的常数，则当 0 xx时，( ) ( )f x g x （A）一定时无穷大 （B）一定时无穷小 （C）的极限一定不存在，且不是无穷大 （D）的极限必存在，且为非零常数 (2)设 22 2 (1)sin ( )lim 1sin x xnxxnx f x nnx + = + 则 （A）( )f x没有间断点 （B）( )f x只有第一类间断点 （C）( )f x只有第二类间断点 （D）( )f x既有第一类也有第二类间断点 (3)设( )f x具有任意阶导数，且( )( ) 2 x xf xxfx=+，则点0 x =为 （A）( )f x的极大值点 （B）( )f x的极小值点 （C）( )fx的极大值点 （D）( )fx的极小值点 (4) 设( , )f x y在区域 D 内具有二阶偏导数，则 （A） 22 ff x yy x = （B）( , )f x y在 D 内必连续 （C）( , )f x y在 D 内必可微分 （D）以上三个结论都不正确 (5)对于积分 22 L ydxxdy xy + ? 下列结论必定正确的是 （A）积分与路径无关（仅与 L 的起点和终点有关） （B）沿xOy平面内任一条正向闭曲线 L 都有积分为 0 （C）沿xOy平面内任两条正向闭曲线 1 L和 2 L都有 12 2222 LL ydxxdyydxxdy xyxy = + ? （D）沿xOy平面内任两条包围原点的正向闭曲线 1 L和 2 L有 12 2222 LL ydxxdyydxxdy xyxy = + ? (6)设函数( )f x在 1,1上连续可导，则(0)0f=是级数 1 1 ( ) n f n = 收敛的 （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 (7)设 A 为 n 阶方阵， 12 , 是 A 的两个互异的特征值， 22 , T AA =，, 为非 零的 n 维列向量，则必有 （A）, 线性无关，但不正交 （B）, 既线性无关也正交 （C）, 线性相关且正交 （D）, 线性相关但不正交 (8) 设 A 是mn矩阵，Axb=为一非齐次线性方程组，则必有 （A）如果mn，则Axb=有非零解 （B）如果( )r Am=，则0Ax =有非零解 （C）如果 A 有一个 n 阶子式不为零，则0Ax =只有零解 （D）如果 A 有一个 n 阶子式不为零，则Axb=有唯一解 (9)有一枚骰子连续抛 n 次，已知至少有一次出现 6 点，则首次出现 6 点是在第(1)kkn 次抛出的概率为 （A） 11 56 65 kn k nn （B） 1 56 65 kn k nn （C） 1 5 6 k n （D） k n (10)对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平 0.05 下接受 00 :H=，那 么在显著水平 0.01 下，下列结论中正确的是 （A）必接受 0 H （B）可能接受也可能拒绝 0 H （C）必拒绝 0 H （D）不接受也不拒绝 0 H 二填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上。 (11) 2 cossin _ sin x xx edx x = (12) 2 0 1ln(1) lim_ 1 cos x xx xt dt xt + = (13)微分方程 2 (1)20 xyxy+=的通解为_ (14)设( , )f x y满足 2 2 2 f y = ，且( ,0)1,( ,0) y f xfxx=，则( , )_f x y = (15)已知 0000 1000 0100 0010 A = ，E 是 4 阶单位矩阵，则 23451 ()_EAAAAA += (16)设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为 22 2 2 0,0,0 ,01,01 ( , ),01,1 ,1,01 1,1,1 xy x yxy F x yxxy yxy xy = = 三解答题：1724 小题，满分 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)（本题满分 10 分） （1）求函数 1 ( )lnf xx x =+在(0,)+内的最小值。 （2）若正值数列 n x满足 1 1 ln1 n n x x + +，证明 n x收敛，并求lim n n x (18)(本题满分 11 分) 利用变换 tan () ( ) 22 cos xt t f t y t = ，取上侧。 (21)（本题满分 11 分）已知方程组： 13 123 123 20 30( ) (2)0 xx xxxI xxax += += += 123 123 123 2(3)0 2()0() 2(4)0 xxbx xxab xII xxbx += += += 问, a b分别满足何条件时， （1）( ) I的解都是()II的解，但()II的解不全是( ) I的解？ （2）()II的解都是( ) I的解，但( ) I的解不全是()II的解？ （3）( ) I与()II有非零的公共解？并求此非零的公共解。 (22)（本题满分 11 分） 已知 1 2 23 3 2 4 5 11000 13000 ,.00 000 0000 x x Axxaaa xaa xa = （1）试给出 A 可逆的条件，并求 1 A。 （2）当 A 可逆时，写出二次型( ) T f xx Ax=的矩阵，并给出 T x Ax为正定的充要条件 (23)（本题满分 11 分）设(, )X Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 1 4 a 1 b 1 4 已知事件0X=与1XY+=相互独立。 （1）求常数,a b的值； （2）令,UXY VXY=+=，求( , )U V的联合分布律；