圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

九年级数学(下)第24章圆,圆的对称性,24.2.3圆的对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,同圆,重合的两个圆,等圆,半径相等的两个圆,同圆或等圆的半径相等,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,弧,弦,等弧,在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧,圆心角,圆心角顶点在圆心的角(如AOB).,弦心距过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).,A,B,O,D,练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在等圆中,这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？,它们相等吗？,这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？,它们相等吗？,用尺量一量！,两位同学先作一个度数相同的圆心角！,用什么方法验证的?,叠合法,根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置时，AOBAOB，射线OA与OA重合，OB与OB重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点A与A重合，B与B重合,O,A,B,O,A,B,A,B,A,B,二、,重合，AB与AB重合,如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,与,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，,相等的圆心角所对的弧相等，,所对的弦相等，所对的弦心距相等,前提条件,三、巩固应用、变式练习,1、判断题，下列说法正确吗？为什么？,（不对）,（不对）,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,(1)定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。,思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：,条件：,结论：,在等圆或同圆中,圆心角相等,圆心角所对弧相等,圆心角所对弦相等,圆心角所对的弦心距相等,演示,猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个交换位置，有怎样的结果？,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一量它们所对的圆心角,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,两位同学作一条长度数相同的弦，看一看它们所对的圆心角是否相同,(2)推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_，所对的弦_；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角_，所对的弧_,弧、弦与圆心角的关系定理,相等,相等,相等,相等,三、定理,推论,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB,OD=OD,AOB=AOB,一.判断下列说法是否正确：1相等的圆心角所对的弧相等。（）2相等的弧所对的弦相等。（）,二.如图，O中，AB=CD,，则,试一试你的能力,如图，AB、CD是O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果，那么_，_（3）如果AOB=COD，那么_，_（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？,AB=CD,AB=CD,四、练习,OEOF证明：OEABOFCDABCDAECFOAOCRtAOERtCOFOEOF,顶点在圆心的圆心角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角，整个圆周被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1的弧。（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）,结论：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,1弧的概念：,证明：,AB=AC,又ACB=60，,AB=BC=CA.,AOBBOCAOC.,A,B,C,O,五、例题,例1如图，在O中，,ACB=60,求证AOB=BOC=AOC,P,A,B,C,D,O,M,N,例1：如图，点O是EPF平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D求证：AB=CD,证明：作OMAB，ONCD，M、N为垂足，MPO=NPOOMABONCDOMABOMONABCDONCD,A,B,C,D,O,M,N,变式1：,O,A,B,C,D,E,F,P,M,N,变式2：已知：如图，O的弦AB，CD相交于点P，APO=CPO求证：AB=CD,A,B,C,D,M,N,O,如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.求证：AMNCNM,变式3：,例2、在O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2厘米，求AB的长,例3、已知AB和CD为O的两条直径,弦CEAB,EC弧的度数等于40.求BOD的度数。,2、已知：如图，O中，AB、CD交于E，AD=BC。求证：AB=CD。,四、课堂练习,1、在O中，直径为10厘米，AB弧是圆的1/4，求弦AB的长。,3、如图，O中弦AB，CD相交于P，且AB=CD.求证：PB=PD,思考题：已知AB和CD是O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？,圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角也较大。,二、弦、弦心距之间的不等量关系,已知O中，弦ABCD，OMAB，ONCD，垂足分别为M，N，求证：OMCD，那么OMON。,1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对的圆心角为.2、A、B、C为O上三点，若、的度数之比为1：2：3，则AOB=，BOC=,COA=.3、在O中，AB弧的度数为60，AB弧的长是圆周长的。4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆心角是度。,三、基础练习：,240,60,120,180,1/6,60,6、如图，弦AB所对的劣弧为圆的,则AOB=.ACB=,5、弦长为24cm,这条弦的弦心距为cm，这条弦所对的圆心角是度，圆的半径是。,120,120,60,三,如图，在O中，AC=BD，,求2的度数。,你会做吗?,解:,