第4讲-面积相关的综合题

第4讲.二次函数与面积问题例题精讲一、二次函数与面积问题【例1】 已知抛物线（1）求抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线与轴的交点分别为点、（点在点的左边），与轴交于点，点为线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为点当点在线段上运动时（点不与点，点重合），设的长为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【例2】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结（1）求证：是等边三角形；（2）点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、若，直接写出的度数；若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；（3）在（2）的条件下，若从点出发在的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度，与交于点，设的面积为，的面积为，运动时间为秒时，求关于的函数关系式【例3】 已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，动点在轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与轴的另一个交点向点运动，点由点沿线段向点运动且速度是点运动速度的2倍（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点和点同时出发，运动时间为（秒），试问当为何值时，是直角三角形；（3）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由【例4】 如图，平行四边形ABCD中，点与点是平行四边形边上的动点，点以每秒1个单位长度的速度，从点运动到点，点以每秒2个单位长度的速度从点点点运动当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动点与点同时出发，设运动时间为，的面积为（1）求关于的函数关系式；（2）求出的最大值；（3）为何值时，将以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形【例5】 已知：如图，四边形是矩形，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点（1）求的长；（2）求过三点的抛物线的解析式；（3）若为过三点的抛物线的顶点，一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间（秒）为何值时，直线把分成面积之比为的两部分？【例6】 已知：如图1，等边的边长为，一边在轴上且，交轴于点，过点作交于点（1）直接写出点的坐标；（2）若直线将四边形的面积两等分，求的值；（3）如图2，过点的抛物线与轴交于点，为线段上的一个动点，过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当点在线段上运动时，现给出两个结论：，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明【例7】 如图，已知抛物线yx2x4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P（x，y）（x0）是直线yx上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值【例8】 已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OEBC交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由【例9】 如图，把抛物线（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、分别是抛物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点.（1）分别写出抛物线与的解析式；（2）设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，试判断以、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.（3）在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.【例10】 如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边DEF，设DEF与BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【例11】 如图，点，的坐标分别为（2，0）和（0，），将绕点按逆时针方向旋转后得，点的对应点是点，点的对应点是点（1）写出，两点的坐标，并求出直线的解析式；（2）将沿着垂直于轴的线段折叠，（点在轴上，点在上，点不与，重合）如图，使点落在轴上，点的对应点为点设点的坐标为（），与