第二十六章-二次函数全章讲学稿

沙 市 十 四 中 数 学 九 年 级 下 讲 学 稿 细 节 决 定 成 败，勤 奋 成 就 学 业，态 度 决 定 一 切，努 力 终 会 成 功！【26.1 二次函数及其图像】 26.1.1 二次函数一、学习目标：1. 了解二次函数的有关概念2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。3. 确定实际问题中二次函数的关系式。二、学法指导：类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。三、学习过程：（一）知识链接：温故而知新1. 若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。2. 形如的函数是一次函数，当时，它是 函数；形如 的函数是反比例函数。（二）新知探究：问题： 用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y()与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。【分析】：在这个问题中，可设长方形生物园的长为米，则宽为 米，如果将面积记为平方米，那么与之间的函数关系式为= ，整理为= . n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_ 用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是 。观察：上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。【归纳】： 一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函数。其中是自变量，是_，b是_，c是_合作交流：（1）二次项系数为什么不等于0？答： 。（2）一次项系数和常数项可以为0吗？答： .跟踪练习 下列函数：；y200x2400x200；，其中二次函数有 。（只填序号） 分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （三）学以致用例1 已知。当为何值时，是的二次函数？例2. 已知二次函数 ，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。例3 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场调查分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，若商店月销售利润为元，销售单价是，求与之间的函数关系式？（四）课堂练习1.下列函数中,不是二次函数的是( )A. y=1-x2 B. y=2(x-1)2+4; C. y=(x-1)(x+4) D. y=(x-2)2-x22函数y(m2)x2mx3（m为常数） （1）当m_时，该函数为二次函数； （2）当m_时，该函数为一次函数3.已知 是二次函数，则m的值为 。4.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t4秒时，该物体所经过的路程为 。4.二次函数当x2时，y3，则这个二次函数解析式为 5. 已知y是x的二次函数，当x=1时，函数值是0；当x=2时，函数值是5，当x=1时，函数值是4，求y关于x的二次函数关系式.26.1.2二次函数的图象一、学习目标：1知道二次函数的图象是一条抛物线；2会画二次函数yax2的图象；3掌握二次函数yax2的性质，并会灵活应用（重点）二、学法指导：“数形结合”是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.三、学习过程（一）知识链接：温故而知新1.画一个函数图象的一般过程是 ； ； 。2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .（二）新知探究：画二次函数yx2的图象列表：x3210123yx2（3）（2）（1）在图（3）中: 描点，并连线思考与讨论：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答： 【归纳与总结】： 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； 抛物线是轴对称图形，对称轴是 ； 的图象开口_； 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即当0时，随的增大而 。例1在图（4）中，画出函数， 的图象解：列表：x432101234（4）（4） 归纳：抛物线，的图象都是 ，其特点如下： 顶点都是_； 对称轴都是_； 二次项系数_0；开口都 ； 顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） 例2 请在图（6）中画出函数，的图象列表：x-3-2-10123 归纳：抛物线，的图象都是 ，其特点如下： 顶点都是_； 对称轴都是_； 二次项系数_0；开口都 ； 顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） （三）合作交流：抛物线的图像特点：图象（草图）对称轴顶点开口方向有最高或最低点最值0当x_时，y有最_值，是_0当x_时，y有最_值，是_ 二次函数的性质 当0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。 当0，即 0，已知 0，所以可以判定 0. 因为抛物线与轴交于正半轴，所以 0. 抛物线与轴有两个交点，所以 0；（三）知识梳理：的符号由 决定：开口 0；开口 0.的符号由 决定： 在轴的左侧 ； 在轴的右侧 ； 是轴 0.的符号由 决定：点（0，）在轴正半轴 0；点（0，）在原点 0； 点（0，）在轴负半轴 0.的符号由 决定：抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根； 特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.（四）学以致用：抛物线如图所示：看图填空：（1）_0；（2） 0；（3） 0;（4） 0 ;(5)_0；（6）；（7）；（8）；（9）（五）跟踪练习：1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程的根为_；（2）方程的根为_；（3）方程的根为_；（4）不等式的解集为_； （5）不等式的解集为_ _；2.根据图象填空：（1）_0；（2） 0；（3） 0;（4） 0 ;(5)_0；（6）；（7）；3已知函数yax2bxc（a，b，c为常数，且a0）的图象如图所示，则关于x的方程：ax2bxc40的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实数根B有两个异号实数根C有两个相等实数根D无实数根26.2用函数观点看一元二次方程（三）一、学习目标：1.体会二次函数与方程之间的联系。2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，二、学习过程（一）知识链接：温故而知新1二次函数：yax2bxc与x轴的交点个数与一元二次方程：ax2bxc0的根的判别式：b24ac的关系如下：（1）当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴有 交点；（2）当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴只有 交点（此交点即 ）；（3）当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴 公共点2二次函数：yx23x2，当x1时，y_；当y0时，x_3二次函数：yx24x6，当x_时，y3图14如图1，一元二次方程：ax2bxc0的解为_图2yx2x2yx26x9yx2x1图1图1（二）探索新知例1 如图2 ，观察图象，思考问题：1.二次函数：yx2x2的图象与x轴有_个交点： 、 ，则一元二次方程：x2x20的根的判别式_0；即当x= 时，y=0。问题： 当x 时，y0。 拓展应用：解一元二次不等式：x22x302.二次函数：yx26x9的图像与x轴有_个交点，则一元二次方程x26x90的根的判别式_0；此时：函数y的值恒为 3.二次函数：yx2x1的图象与x轴_公共点，则一元二次方程x2x10的根的判别式_0此时：函数y的值恒为 拓展应用：已知二次函数：yax2bxc，无论x为何实数，函数y的值恒大于0，求a，b，c满足条件？例2 （2009荆州）已知关于的函数：的图像与坐标轴只有两个不同的交点AB，求k的值?例3（2012荆州）已知：y关于x的函数y(k1)x22kxk2的图象与x轴有交点(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足：(k1)x122kx2k24x1x2求k的值；当kxk2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值 一般地：已知二次函数yax2bxc的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2bxcm反之，解一元二次方程ax2bxcm又可以看作已知二次函数yax2bxc的值为m的自变量x的值(三) 基本知识练习1已知二次函数yx24x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 _反之，解一元二次方程x24x3又可以看作已知二次函数 _的函数值为3的自变量x的值 2已知抛物线yx22kx9的顶点在x轴上，则k_4.根据图象填空：3-1（1）a_0；（2）b_0；（3）c_0；（4）b24ac_0；（5）abc_0；（6）当x 时，y随x的增大而增大；（7）2ab_0；（8）方程ax2bxc0的根为_；（9）当y0时，x的范围为_；（10）一元二次不等式ax2bxc0的解集为_；5.（2011荆州）关于x的函数ymx 2 （3m1）x2m1的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值26.3 实际问题与二次函数（1）一、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值二、学习过程（一）知识链接：温故而知新1抛物线y(x1)22中，当x_时，y有_值是_2抛物线yx2x1中，当x_时，y有_值是_3抛物线yax2bxc（a0）中，当x_时，y有_值是_（二）例题分析：例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积y随矩形一边长x的变化而变化，当x是多少时，场地的面积y最大？练习11已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h30t5t2小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，ACBD10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？例2 如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件EHGF，使矩形的一边HG在BC上，其余两个顶点EF分别在AB、AC上，这个矩形零件的边长是多少时，矩形EHGF的面积最大？GHFEDCBA练习21一块三角形废料如图所示，A30，C90，AB12用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？2如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？26.3 实际问题与二次函数（2）-商品价格调整问题一、学习目标：1懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2会应用二次函数的性质解决问题二、学习过程（一）知识链接：温故而知新1某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则所列方程为 。2.某商品进价100元，售价为160元，则利润是 ，利润率是 ，如果一天销售该商品100件，则每天销售该商品的总利润是 。3.在商品交易中： 利润= ； 总利润=每件利润 ； 利润率= （二）探索新知例1 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_件，实际卖出_件，设商品的利润为y元 （2）设每件降价x元，则每星期多卖_件，实际卖出_件（三）课堂训练1某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100x）件，应如何定价才能使利润最大？2.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？3.蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份）123456市场售价P（元/千克）10.597.564.53这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？CBA （收益市场售价种植成本）26.3 实际问题与二次函数（3） 一、学习目标：1会建立直角坐标系解决实际问题；2会解决桥洞水面宽度问题二、学习过程（一）知识链接：温故而知新1以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_2拱桥呈抛物线形，其函数关系式为yx2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（ ） A3mB2mC4mD9m3有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4米若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？(三) 新知探究 例 1一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式； （2）求支柱MN的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由图 例2 校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 yx2x，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度。（三）课堂训练1如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式（2）现有一辆载有救援物资的货