第九章二重积分

微积分教案章节次数第39讲 第九章 9.1 二重积分的概念与性质教学目的要求1. 理解二重积分的概念，熟悉二重积分的几何意义。2. 了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。主要内容二重积分的概念、定义、几何意义二重积分的性质重点难点二重积分的性质，知道二重积分中值定理。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：368页 习题9-1：1、2、3、备注9.1 二重积分的概念与性质教学目的与要求：理解二重积分的概念，熟悉二重积分的几何意义；了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。教学重点（难点）：二重积分的性质，知道二重积分中值定理。一、二重积分的概念1、曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面(在上连续)且,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积可以这样来计算:用任意一组曲线网将区域分成个小区域 ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体 。（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。）从而。由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是。 整个曲顶柱体的体积近似值为 。为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为, 则 2、二重积分的定义定义 设是有界闭区域上的有界函数, 将区域任意分成个小闭区域：, 其中: 既表示第个小闭区域, 也表示它的面积。在每个上任取一点，作乘积，并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作，即其中: 叫做被积函数；叫做被积表达式；叫做面积元素；与叫做积分变量；叫做积分区域；叫做积分和。若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作 (并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。3、二重积分的几何意义若,二重积分表示以为顶,以为底的曲顶柱体的体积。如果是负的，柱体就在面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果在的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把面上方的柱体体积取成正，下方的柱体体积取成负，则在上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。二、二重积分的性质1、线性性：其中:是常数。2、对区域的可加性：若区域分为两个部分区域与,则3、若在上, ,为区域的面积,则： 几何意义: 高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4、若在上,则有不等式：特别地,由于，有：5、估值不等式设与分别是在闭区域上最大值和最小值, 是的面积,则6、二重积分的中值定理：设函数在闭区域上连续, 是的面积,则在上至少存在一点,使得 例1 估计二重积分 的值, 是圆域。解: 求被积函数 f(x,y)=x2+4y2+9在区域上的最值：,于是有例2 比较积分与的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0)。解：三角形斜边方程，在D内有，故，于是，因此 。微积分教案章节次数第40讲 第九章 9.2二重积分的计算教学目的要求1. 熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。2. 能利用极坐标系计算某些特殊的二重积分。主要内容二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）广义二重积分简介重点难点二重积分的计算。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：383页 习题9-2：1、2、4、5、9、11、12、13（1）（3），14备注9.2 二重积分的计算教学目的与要求：熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。 能利用极坐标系计算某些特殊的二重积分。教学重点（难点）：二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、在直角坐标下二重积分的计算如果积分区域D为X型：，其中函数、在区间上连续。的值等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得： 如果积分区域D为Y型：，其中函数、在区间上连续。 。X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域既不是X型区域，又不是Y型区域，则可把D分成几部分，使每个部分是X型区域或是Y型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分对于积分区域具有可加性，它们的和就是在D上的二重积分。例1 改变积分 的次序.解：原式.例2 改变积分的次序.解：原式.例3 计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。解：(法一) , (法二) , 例4 求，其中D是以为顶点的三角形.解：无法用初等函数表示， 积分时必须考虑次序。注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性。例5 求由曲面及所围成的立体的体积。解: 立体在面的投影区域为： 二、在极坐标系下二重积分的计算 若，其中函数, 在上连续，则 若，极点O在区域D的边界曲线上，则若，极点O在区域D的内部，则 例6 将下列区域用极坐标变量表示1、解：2、解：例7 计算，其中D 是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域.解：在级坐标系下，注意：本题如果用直角坐标计算，由于积分不能用初等函数表示，所以算不出来。我们可以利用上面的结果来计算工程上常用的广义积分 。设 ， ，显然， 而被积函数满足 ,故 再利用例