等差数列的判定方法

判断一个数列为等差数列的方法一 定义法1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） （1）（2）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （3）对于数列,若=d (常数，n2，nN），或者=d (常数，n1，nN）则此数列是等差数列，d 为公差此方法可以求d或者证明该数列是等差数列，即=d (常数，n2，nN）为等差数列 （1）2,4,6,8，.，2（n-1）,2n； (2)1,1,2,3，.，n例1 在数列中，设证明是等差数列; 解析 由已知得，又是首项为1，公差为1的等差数列。例2 存不存在，使得为等差数列【解析】 不存在；否则有，则或者若，有而此时不成等差数列；若，有解得有而，矛盾！二 等差中项法定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项（n2，nN）为等差数列看来， 性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则 即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由 推不出m+n=p+q ，推广2：若数列为等差数列，=k，则有 （3）若数列为等差数列，则数列（其中为常数）也为等差数列，其公差是d 若数列为等差数列，则数列（其中b为常数）也为等差数列，其公差是d 若数列为等差数列，则数列（其中、b为常数）也为等差数列，其公差是d （4）若数列为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项组成了公差为md的等差数列 （5）若数列为等差数列，为公差是t的等差数列，则和(k为常数)也是等差数列，其公差分别为dt，kd+t （6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。例如：，.构成等差数列；再如：，.也构成了等差数列例3 已知非零数列为问：在数列中，是否一定存在首项、第r项、第s项（1rs），使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s所满足的条件；若不存在，请说明理由。令要使成等差数列，只需即因为则上式左端，又因为上式右端于是当且仅当，且s为不小于4的偶数时，成等差数列。三 通项法 注意：证明一个数列为等差数列只能通过定义法与等差中项法，为n的一次函数为等差数列等差数列的通项公式：【或】 （1）等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：由此归纳等差数列的通项公式可得： （2）等差数列的通项公式是关于三个基本量，d和n的表达式，所以由首项和公差d便可求出数列中的任意一项 如数列1，2，3，4，5，6； （1n6） 数列10，8，6，4，2，； （n1） 数列 （n1） 由上述关系还可得： 即： 则：= 即第二通项公式 d= 如： （3）（先举例说明）等差数列的通项公式可以推广为,由此可知等差数列中的任意两项，就可以求出其他的任意一项 （4）有几种方法可以计算公差d： d= d= d=等差数列与一次函数的联系等差数列一次函数解析式不同点定义域为，图像是一系列孤立的点（都在同一条直线上）定义域为R，图像是一条直线相同点其通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次式，都是最简单的，也是最基本的（数列和函数） （1）把等差数列的通项公式=化为=，并与对照，知等差数列是特殊的一次函数，特殊在定义域为正整数集的子集，其图像是直线上的一些孤立的点，由斜率公式，不难联想到d=，由此也可得到 （2）等差数列是关于n的一次函数（d=0时为常数数列），有关单调性、取值范围的问题，可结合已知条件利用通项公式，得到一个以和d为未知数的方程或不等式，利用函数、不等式的有关方法解决。例 设是首项为，