二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

二次函数的存在性问题（相似三角形） 1、已知抛物线的顶点为 A(2，1)，且经过原点 O，与 x 轴的另一交点为 B。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四 边形，求 D 点的坐标； (3)连接 OA、AB，如图，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存 在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。 2、设抛物线与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1，0)、B(m，0)，与 y 轴交于点 C.且 2 2yaxbx A A BBOO xx yy 图图 x y F -2 -4 -6 A C E P D B 521 2 4 6 G ACB=90 (1)求 m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点 D(1，n )在抛物线上，过点 A 的直线交抛物线于另1yx 一点 E若点 P 在 x 轴上，以点 P、B、D 为顶点的三角形与AEB 相似，求点 P 的坐标(3)在(2)的条 件下，BDP 的外接圆半径等于_ 解：(1)令 x=0，得 y=2 C(0，一 2)ACB=90，COAB, AOC COB, OAOB=OC2；OB= m=4 22 2 4 1 OC OA 3、已知抛物线经过点 A（5，0） 、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式； 2 yaxbxc （2）若过点B 的直线与抛物线相交于点C（2，m） ，请求出OBC 的面积S 的值.ykx b （3）过点 C 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线上，任 取一点 P，过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F，交直线 DC 于点 E. 直线 PF 与直线 DC 及两坐标 轴围成矩形 OFED（如图） ，是否存在点 P，使得OCD 与CPE 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由. D x y NOM P A C B 2 H 解：（1）由题意得： 解得故抛物线的函数关系式为 2550 3660 0 abc abc c 1 5 0 a b c 2 5yxx （2）在抛物线上， 点坐标为（2，6） ，、C 在直线C 2 25 2,6mm CB 上ykx b 解得直线 BC 的解析式为 62 66 kb kb 3,12k b 312yx 设 BC 与 x 轴交于点 G，则 G 的坐标为（4，0） 11 4 64624 22 OBC S A （3）存在 P，使得 设 P， 故OCDACPEA( , )m n90ODCE 2,6CEmEPn 若要，则要或 即或OCDACPEA ODDC CEEP ODDC EPCE 62 26mn 62 62nm 解得或203mn123nm 又在抛物线上，或( , )m n 2 203 5 mn nmm 2 123 5 nm nmm 解得或 故 P 点坐标为和 1 2 2 1 10 2 3 , 650 9 m m n n 12 12 26 , 66 mm nn 10 50 () 39 ，(6, 6) 4、如图，抛物线与轴的交点为直线与轴交于，与(1)(5)ya xxxMN，ykxbx( 2 0)P ， 轴交于若两点在直线上，且，为线段的中yCAB，ykxb2AOBOAOBODMN 点，为斜边上的高OHRtOPC （1）的长度等于 ； ， OHk b （2）是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足a(1)(5)ya xxE 以为顶点的三角形与相似？若不存在，说明理由；DNE，AOB 若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上 是否还有符合条件的点（简要说明理由） ；并进一步探索对符合条件的E 每一个点，直线与直线的交点是否总满足ENEABG ，写出探索过程10 2PB PG A 解：（1）；， （2）设存在实数，使抛物线上有一点，1OH 3 3 k 2 3 3 b a(1)(5)ya xxE y x O A B 满足以为顶点的三角形与等腰直角相似以为顶点的三角形为等腰直角DNE，AOBDNE， 三角形，且这样的三角形最多只有两类， 一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形DNDN 若为等腰直角三角形的直角边，则由抛物线得：，DNEDDN(1)(5)ya xx( 10)M ， ，的坐标为把代入抛物线解析式，(5 0)N，(2 0)D，3EDDNE(2 3)，(2 3)E， 得 1 3 a 抛物线解析式为即 1 (1)(5) 3 yxx 2 145 333 yxx 若为等腰直角三角形的斜边，则，DNDEENDEEN 的坐标为把代入抛物线解析式，得E(3.51.5)，(3.51.5)E， 2 9 a 抛物线解析式为，即 2 (1)(5) 9 yxx 2 2810 999 yxx 当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件 1 3 a 2 145 333 yxx (2 3)E， 的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，E E DE NDN(3.51.5) E ， 显然不在抛物线上，故抛物线上没有符合条件的其他的 E 2 145 333 yxx 2 145 333 yxx 点E 当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点 2 9 a 2 2810 999 yxx E 当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直E(2 3)， 2 145 333 yxx EDNABO 角三角形，又，45GNPPBO NPGBPO NPGBPO PGPN POPB ，总满足当的坐标为，对应的抛物线2 714PB PGPO PNAA10 2PB PG AE(3.51.5)， 解析式为时，同理可证得：，总满足 2 2810 999 yxx 2 714PB PGPO PNAA 10 2PB PG A 5、如图，抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求点 M，使MOB 的面积是AOB 面积的 3 倍；（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛 物线上是否存在点 N，使OBN 与OAB 相似？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，说明理由 解：（1）由题意可设抛物线的解析式为1)2( 2 xay 抛物线过原点 01)20( 2 a 4 1 a 抛物线的解析式为 即. 1)2( 4 1 2 xyxxy 2 4 1 （2）AOB 与MOB 同底不等高 又SMOB=3 SAOB MOB 的高是AOB 高的 3 倍 即点 M 的 纵坐标是3 解得 ，xx 2 4 1 30124 2 xx6 1 x2 2 x )36( 1 ，M)32( 2 ，M （3）由抛物线的对称性可知：AO=ABABOAOB 若OBN 与OAB 相似， 必须有， 显然 BNOBOABON ) 12( ，A 直线 ON 的解析式为， 由，得， xy 2 1 xxx 2 4 1 2 1 0 1 x6 2 x)36(，N 过 N 作 NEx 轴，垂足为 E. 在 RtBEN 中，BE=2，NE=3， 又 OB=4 1332 22 NB NBOB BONBNO OBN 与OAB 不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件 的 N 点. 故在抛物线上不存在 N 点，使得OBN 与OAB 相似 6、如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形 CFGH，延 长 BC 至 M， 使 CMCEEO，再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO. (1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由；(2)令，请问 m 是否为定值？ CMNO CFGH S S m 四边形 四边形 若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若 CO1，CE， 3 1 Q 为 AE 上一点且 QF，抛物线 ymx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. 3 2 (4)在(3)的条件下，若抛物线 ymx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在 点 K，使得以 P、B、K 为顶点的三角形与AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若 不存在，请说明理由。 解（1）EOEC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在 RtEFC 中，EF 为斜边，EFEC， 故 EOEC （2）m 为定值。S四边形 CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC)(EOEC)=CO(EOEC) S四边形 CMNO=CMCO=|CEEO|CO=(EOEC) CO 1 CMNO CFGH S S m 四边形 四边形 （3）CO=1， EF=EO= cosFEC= FEC=60， 3 2 3 1 QFCE，QF 3 2 3 1 1 2 1 y x O A BE N A A y O x C N B P MA EFQ 为等边三角形， 3060 2 60180 EAOOEAFEA， 3 2 EQ 作 QIEO 于 I，EI=，IQ= IO= Q 点坐标为 3 1 2 1 EQ 3 3 2 3 EQ 3 1 3 1 3 2 ) 3 1 , 3 3 ( 抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q ，m=1，可求得，c=1 ) 3 1 , 3 3 (3b 抛物线解析式为 13 2 xxy （4）由（3） ， 当时，AB 3 3 2 3EOAO3 3 2 x 3 1 13 3 2 3)3 3 2 ( 2 y P 点坐标为 BP=AO ) 3 1 , 3 32 ( 3 2 3 1 1 方法 1：若PBK 与AEF 相似，而AEFAEO，则分情况如下： 时， K 点坐标为或 ； 3 32 3 2 3 2 BK 9 32 BK) 1 , 9 34 () 1 , 9 38 ( 时， ， K 点坐标为或 3 2 3 2 3 32 BK 3 32 BK) 1 , 3 34 () 1 , 0( 故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为 ) 1 , 0() 3 1 , 0() 3 7 , 0() 3 5 , 0(或或或 方法 2：若BPK 与AEF 相似，由（3）得：BPK=30或 60，过 P 作 PRy 轴于 R，则 RTP=60或 30当RTP=30时， 23 3 32 RT 当RTP=60时， 3 2 3 3 32 RT ) 1 , 0() 3 1 , 0() 3 5 , 0() 3 7 , 0( 4321 TTTT， 7、如图，二次函数 2 yaxbxc（0a ）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结 ACBCAC、，、两点的坐标分别为( 3 0)A ，、(03)C，且当4x 和2x 时二次函数的函数值 y相等 （1）求实数abc，的值；（2）若点MN、同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度 分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结 MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2） 的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，为项点的三角形与ABC相似？ y x O C B A D 图 2 y x O C B A D y x O C B A D M P1 E P2 如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 8、已知：在平面直角坐标系中，抛物线3 2 xaxy（0a）交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 C， 且对称轴为直线2x （1）求该抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）若点 P（0，t）是y轴上的一 个动点， 请进行如下探究： 探究一：如图 1，设PAD 的面积为 S，令 WtS，当 0t4 时，W 是否有最大值？如果有，求出 W 的最大值和此时 t 的值；如果没有，说明理由； 探究二：如图 2，是否存在以 P、A、D 为顶点的三角形与 RtAOC 相似？如果存在，求点 P 的坐标；如 果不存在，请说明理由 解：（1）抛物线 2 3yaxx（0a ）的对称轴为直线2x 1 2 2a ， 1 4 a ， 2 1 3 4 yxx ( 2 4)D ， （2）探究一：当04t 时，W有最大值 抛物线 2 1 3 4 yxx 交x轴于AB、两点，交y轴于点C，( 6 0)A ，(2 0)B ，(0 3)C， 63OAOC，当04t 时，作DMy轴于M，则24DMOM， (0)Pt，4OPtMPOMOPt， PADAOPDMPOADM SSSS 梯形 111 () 222 DMOA OMOA OPDM MPAAA 111 (26) 462 (4) 222 tt 122t 2 (122 )2(3)18Wttt 当3t 时，W有最大值，18W 最大值 探究二：存在分三种情况： 当 1 90PDA时，作DEx轴于E，则2490OEDEDEA， 624AEOAOEDE45DAEADE ，24 2ADDE， 11 904545PDEPDAADE DMy轴，OAy轴， 图 1 y x O C B A D M P y O 3 C D B 6 A x 3 4 yx DMOA，90MDEDEA ， 11 904545MDPMDEPDE 1 2PMDM， 1 22 2PDDM此时 1 3 2 4 OCOA PDAD ，又因为 1 90AOCPDA ， 1 RtRtADPAOC， 11 422OPOMPM， 1(0 2) P， 当 1 90PDA时，存在点 1 P，使 1 RtRtADPAOC，此时 1 P点的坐标为（0，2） 当 2 90P AD时，则 2 45P AO， 2 6 2 cos45 OA P A ， 2 6 2 2 6 P A OA 4 2 3 AD OC ， 2 P AAD OCOA 2 P AD与AOC不相似，此时点 2 P不存在 当 3 90APD时，以AD为直径作 1 O，则 1 O的半径2 2 2 AD