自动控制原理4-2 根轨迹绘制的基本法则演示幻灯片

1,例4-2-2,要求画出根轨迹。,某单位反馈系统,分析：1个开环零点，3个开环极点，,-5,-2,-1,0,3绘制根轨迹图的基本规则,2,规则一、,根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。,根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。,闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。,闭环极点数=闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次,=开环极点数,例,3,规则二、,根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。,根轨迹是Kr从0时的根变化轨迹，因此必须起始于Kr=0处，终止于Kr=处。,观察幅值条件：,分三种情况讨论：,如果n=m，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。,如果nm,m条根轨迹趋向开环的m个零点（称为有限零点）,而另n-m条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。,对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。,如果nr=-1111;p=-50-1-2;k=;num,den=residue(r,p,k)；G=tf(num,den);zero(G)ans=-6.9434-1.6091-0.4475,方法2：重新整理特征方程为：,15,规则七、,根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值利用劳斯判据求出。,根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。,在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：,即：,劳斯行列式,当6-2Kr=0时，特征方程出现共轭虚根，求出Kr=3。,虚根可利用s2行的辅助方程求出：,与虚轴的交点,16,与虚轴的交点为,例4-2-2的根轨迹如图。,Kr=.084,1、画出开环零极点,2、确定根轨迹根数,3、画出实轴上的根轨迹,4、求渐进线（nm）,5、求分离点,6、求与虚轴交点,7、画出根轨迹,8、求出特殊点对应的Kr值,规则九：Kr值由根轨迹幅值条件求出：,如分离点（-0.447，j0）处的Kr值：,17,规则八、,根轨迹的出射角：,在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：,在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为：,若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。,18,证明：,设一系统的开环零、极点分布如图所示，,点为从出发的根轨迹上一点。该点到所有零极点的应符合相角条件：,l而p1、p2、p4、z都分别趋近于各开环零极点相对于P3点的向量的相角。,19,此时，出射角可以计算：,同理可证明入射角。,20,例4-2-3,设系统开环零极点图如图4-7。,其中,确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。,根据公式：,考虑到根轨迹的对称性,出射角p3=-5，p4=5,21,例,根轨迹起始角,-1,-2,1=108.5,90,59,37,19,56.5,P2,P3,P4,P1,Z3,Z2,Z1,22,90,121,153,199,63.5,117,P2,P3,P4,P1,Z3,Z2,Z1,根轨迹终止角,（k=-1）,23,手工绘图时还需注意：,根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值K*的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。,要标出一些特殊点的K*值，如起点(K*0)，终点(K*)；根轨迹在实轴上的分离点d(K*=Kd*)；与虚轴的交点(K*=Kr*)。还有一些要求标出的闭环极点s及其对应的开环根轨迹增益K*，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。,根轨迹的起点（开环极点pi)用符号“”标示；根轨迹的终点(开环零点zj)用符号“o”标示。,24,根轨迹示例1,25,根轨迹示例2,j,0,n=1;d=conv(120,122);rlocus(n,d),n=12;d=conv(125,1610);rlocus(n,d),26,例4-2-4,作的根轨迹。,开环极点3个：,分析：n=3，m=0,没有开环零点。,(在s平面上的极点处标以“”),根据规则一、二、三：,根据规则四，实轴上0-为根轨迹。,分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处。,根轨迹有三个分支：,图4-8,27,根据规则五，求渐近线:n-m=3条,例4-2-4,渐近线与实轴夹角：,渐近线与实轴的交点：,-2.767,60,没有分离点。,28,例4-2-4,根据规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程：,Kr=256，必对应于一对纯虚根,以的系数构成辅助方程:,29,例4-2-4,根据规则八求出射角：,对P2，根轨迹的出射角为：,由对称性知：-4-j4处的射角为45,根轨迹完成。,30,例4-2-5,作的根轨迹。,该系统n=3，m=1。,根据规则一、二、三：,一个零点：,有三个开环极点：,该根轨迹有三个分支,分别起始于p=0(两条)和p=-12处，,有一个分支终止于z=-1,另两个分支趋于无穷远。,根据规则四：实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。,31,例4-2-5,根据规则五：渐近线有2条，n-m2。,-5.5,渐近线夹角：,渐近线与实轴的交点：,32,例4-2-5,根据规则七、求根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程是：,Kr0时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴交点于Kr=0处。,33,例4-2-5,根据规则六、求分离点和会合点,则：,s1=-5.18,s2=-2.31，s30。,可知一部分根轨迹为圆。据此，可画出根轨迹。,均在根轨迹上。,大Kr分离点，小Kr会合点。,求出重根角为:,34,例4-2-5,利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的Kr值。,s1是分离点，s2是会合点。,完整的绘出根轨迹如图4-9所示。,图4-9,作业：4-1，4-2，4-3看书p151，表4-1常规根轨迹。,s1=-5.18,s2=-2.31，s30。,35,例4-2-6,根据规则一、二、三、有四个极点：,p1=0,p2=-2,p3,4=-1j2,分析：n=4，m=0。,该根轨迹共有四个分支，,-2,P1,P2,P3,P4,根据规则四、实轴上存在根轨迹是从-2到0之间。,终止于无穷远。,分别起始于p1,p2,p3,4，,36,例4-2-6,根据规则五、n-m=4条渐近线,与实轴交点：,渐近线相角分别为：,p1=0,p2=-2,p3,4=-1j2,-1,37,根据规则八、计算出射角和入射角。,例4-2-6,复数极点p3=-1+j2的出射角：,复数极点p4：,p4=-1-j2的出射角为90,p1=0,p2=-2,p3,4=-1j2,p3=-1j