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院、系领导审批并签名 B 卷广州大学 2013-2014 学年第 2 学期考试卷课程 信息安全数学基础2 考试形式（闭卷，考试）学院 系 专业 班级 学号 姓名_ _题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数222058100评分一、填空题(共22分，每空2分)1若域的阶为9, 则其特征为 3 。 2环的零因子为 2,3,4,6,8,10。3有理数域的扩域()在上的次数为 4 。4域的自同构有 2 个。5在上的极小多项式为。6的理想=，=，=，=。 7有限域的所有子域共有 4 个。 84次分圆多项式为。二、判断题(若正确需证明,否则需给出反例) (共20分，每题5分)1.若一个环的某个子集合有乘法的吸收律,则其为理想。 解：论断错误。反例：环为有理数域上的阶矩阵全体，子集合为不可逆阵全体。2.若两环和同态，则这两个环同时有或没有零因子。解：论断错误。反例：整数环与同态，但中无零因子，而有。 3.特征为0的域必为无限域。解:正确,否则若为有限域,元素个数为,则特征为 4.任何环必有非平凡的理想。解:错误,域没有非平凡的理想。三、证明和计算题（共58分） 1.(10分) 证明：域与域不同构。 证明：假设与同构，映射为，则应有，于是,，从而。设，则，而另一方面，故，但不属于，矛盾。 2.(12分) 设，则关于矩阵的加法与乘法构成环，是否为交换环？是否有乘法单位元？是否为整环？是否为域？证明：构成环，且为交换，有乘法单位元环 ，即为整环。对，则是域。3(10分) 设是有理数域，证明：。证明：显然，故。 其次，由于，则，于是可知，因此，故。4(14分)证明环为欧氏环。证明 令，,将 限制到上, 称为到的映射.易见对任意的, . 如果, , 令,. 取，使得则, 。令, 则, 且, 而，所以, 为的欧氏映射, 从而为欧几里德环.5.（12分）构造8个元素的有限域，其有几个本原元，取一个求其乘法的逆。解:取一个中的一个3次不
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