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第八章多元函数微分法及其应用,第一节多元函数的基本概念,开区域,有界闭区域,无界开区域,1.二元函数的定义,二、多元函数的概念,例3求的定义域,解,所求定义域为,2二元函数的几何意义,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,三、多元函数的极限,说明：,（1）定义中的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例4证明不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,四、多元函数的连续性,例6讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数
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