回归直线方程的三种推导方法

回归直线方程的三种推导方法 巴州二中母润萍回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学3中对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修2-3中给出了回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了3种推导回归直线方程的方法：设与是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的个点的坐标分别是：，设所求的回归方程为，显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用个偏差的平方和来表示个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即Q=i=1nyi-yi2=i=1nyi-bxi-a2求出当取最小值时的的值，就求出了回归方程下面给出回归方程的推导方法一：一、 先证明两个在变形中用到的公式公式（一），其中证明：公式（二）证明：，二、 推导：将的表达式的各项先展开，再合并、变形展开合并同类项以的次数为标准整理转化为平均数配方法展开整理用公式（一）、（二）变形配方配方法在上式中，共有四项，后两项与无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得取得最小值，当且仅当前两项的值都为0所以b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2 ay-bx或用公式（一）、（二）变形得上述推导过程是围绕着待定参数进行的，只含有的部分是常数或系数，用到的方法有： 配方法，有两次配方，分别是的二次三项式和的二次三项式； 形时，用到公式（一）、（二）和整体思想； 用平方的非负性求最小值 实际计算时，通常是分步计算：先求出，再分别计算，或，的值，最后就可以计算出的值推导方法二：Q=i=1nyi-yi2=i=1nyi-bxi-a2=i=1nyi-bxi-y-bx+y-bx-a2=i=1nyi-bxi-y-bx2+2yi-bxi-y-bx*y-bx-a+y-bx-a2=i=1nyi-bxi-y-bx2+2i=1nyi-bxi-y-bx*y-bx-a+ny-bx-a2注意到i=1nyi-bxi-y-bx*y-bx-a=y-bx-ai=1nyi-bxi-y-bx=y-bx-ai=1nyi-bi=1nxi-ny-bx=y-bx-any-nbx-ny-bx=0因此，Q=i=1nyi-bxi-y-bx2+ny-bx-a2=b2i=1nxi-x2-2bi=1nxi-xyi-y+i=1nyi-y2+ny-bx-a2=ny-bx-a2+i=1nxi-x2b-i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x22-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2+i=1nyi-y2在上式中，后面两项和a,b无关，前两项为非负数，因此，要使Q达到最小值，当且仅当前两项均为0，即有b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2ay-bx总结：这种方法难想到为什么要这样处理，并且计算量很大。还有不足之处是它与必修三给出的公式形式上还是有所区别，还要对形式进行转化。推导方法三：Q=i=1nyi-yi2=i=1nyi-bxi-a2两边对a求导得-2i=1nyi-bxi-a=-2y1-bxi-a+y2-bx2-a+yn-bxn-a=-2y1+y2+yi-bx1+x2+xn-na=-2ny-bnx-na令-2ny-bnx-na=0得ay-bx（1）若两边对b求导得-2i=1nyi-bxi-axi=-2y1-bxi-ax1+y2-bx2-ax2+yn-bxn-axn=-2x1y1+x2y2+xnyn-bx12+x22+xn2-ax1+x2+xn=-2i=1nxiyi-bi=1nxi2-anx令-2i=1nxiyi-bi=1nxi2-anx=0将（1）式带