复变函数与积分变换中国石油大学华东崔俭春张高民第四章答案

习题四答案习题四答案 1 考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限 （1） 1 n n zi n =+ 解：因为lim n n i 不存在，所以lim n n z 不存在，由定理 4.1 知，数列 n z不收敛 （2）(1) 2 n n i z =+ 解： 5 1(cossin ) 22 i i+=+，其中 1 arctan 2 =，则 () 52 (cossin )cossin 25 n n n zinin =+= 因为 2 lim0 5 n n = ，cossin1nin=，所以() 2 limcossin0 5 n n nin = 由定义 4.1 知，数列 n z收敛，极限为 0 （3） 2 1 n i n ze n = 解：因为 2 1 n i e =， 1 lim0 n n =，所以 2 1 lim0 n i n e n = 由定义 4.1 知，数列 n z收敛，极限为 0 （4）( )n n z z z = 解：设(cossin )zri=+，则( )cos2sin2 n n z znin z =+，因为limcos2 n n ， limsin2 n n 都不存在，所以lim n n z 不存在，由定理 4.1 知，数列 n z不收敛 2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛下列级数是否收敛？是否绝对收敛? (1) 1 ! n n i n = 解： 1 ! n i nn =，由正项级数的比值判别法知该级数收敛，故级数 1 ! n n i n = 收敛，且为绝对收敛 (2) 2ln n n i n = 解： 222 cossin 22 lnlnln n nnn nn i i nnn = =+ ， 因为 2 cos 1111 2 lnln2ln4ln6ln8 n n n = = + ?是交错级数，根据交错级数的莱布尼兹审 敛法知该级数收敛，同样可知， 2 sin 1111 2 1 lnln3ln5ln7ln9 n n n = = + ? 也收敛，故级数 2ln n n i n = 是收敛的 又 22 111 , lnlnln1 n nn i nnnn = = ，因为 2 1 1 n n = 发散，故级数 2 1 ln n n = 发散，从而级数 2ln n n i n = 条件收敛 (3) 0 cos 2n n in = 解： 111 0000 cos 2222 nnnn nnnn nnnn ineeee + = + =+ ，因级数 1 02 n n n e + = 发散，故 0 cos 2n n in = 发散 (4) () 0 35 ! n n i n = + 解： () 00 3534 ! nn nn i nn = + = ，由正项正项级数比值判别法知该级数收敛，故级数 () 0 35 ! n n i n = + 收敛，且为绝对收敛 3 试确定下列幂级数的收敛半径试确定下列幂级数的收敛半径 (1) () 0 1 n n n iz = + 解： 1 lim12 n n n c i c + =+=，故此幂级数的收敛半径 1 2 R = (2) 0 ! n n n n z n = 解： 1 1 (1)!11 limlimlim 1 (1)! (1) n n n nnn n n cnn cnne n + + + = + + ，故此幂级数的收敛半径Re= (3) 1 i n n n e z = 解： 1 1 limlim1 in n nn i n n ce c e + + =，故此幂级数的收敛半径1R = (4) 22 1 21 2 n n n n z = 解：令 2 zZ=，则 221 11 2121 22 nn nn nn nn zZ = = 1 1 21 1 2 limlim 21 2 2 n n nn n n n c n c + + + = ，故幂级数 1 1 21 2 n n n n Z = 的收敛域为2Z，即 2 2z，从 而幂级数 22 1 21 2 n n n n z = 的收敛域为2z ， 因为 0 n n = 发散， 根据正项级数的比较准则可知， 0 n n n z = 发散，从而 0 n n n z = 的收敛半径为 1，由定理 4.6， 0 n n n z = 的收敛半径也为 1 5 如果级数如果级数 0 n n n c z = 在它的收敛圆的圆周上一点在它的收敛圆的圆周上一点 0 z处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭 区域上绝对收敛区域上绝对收敛 证明： 0 zz时，由阿贝尔定理， 0 n n n c z = 绝对收敛 0 zz=时， 0 00 nn nn nn czcz = = ， 由已知条件知， 0 0 n n n cz = 收敛， 即 0 n n n cz = 收敛，亦即 0 n n n c z = 绝对收敛 6 将下列函数展开为将下列函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域的幂级数，并指出其收敛区域 （1） 22 1 (1)z+ 解：由于函数 22 1 (1)z+ 的奇点为zi= ，因此它在1z 内处处解析，可以在此圆内展开成 z的幂级数根据例 4.2 的结果，可以得到 24 2 1 1( 1),1 1 nn zzzz z = + + + ? 将上式两边逐项求导，即得所要求的展开式 22 1 (1)z+ = 24122 2 11 1 23( 1),1 12 nn zznzz zz + = + + + ?（）（） （2） 1 (0,0) ()() ab za zb 解：ab=时，由于函数 1 (0,0) ()() ab za zb 的奇点为za=，因此它在za内 处处解析，可以在此圆内展开成z的幂级数 2 11111 ()() ()()() 1 z za zbzaaza a = = 1 (1) n n zz aaa +?= 1 11 () n n n z aaa +?= 1 21 1 , n n n zza aa + +? ab时，由于函数 1 (0,0) ()() ab za zb 的奇点为 12 ,za zb=，因此它在 min,za b内处处解析，可以在此圆内展开成z的幂级数 111111 () ()() 11 zz za zbabab ab =+ = 2121 111 () nn nn zzzz abaaabbb + + ? = 2211 1111111 ()(),min, n nn zzza b ab bababa + + ? （3） 2 cosz 解：由于函数 2 cosz在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成z的幂级数 482 2 cos1( 1), 2!4!(2 )! n n zzz zz n = + + +? （4）shz 解：由于函数shz在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成z的幂级数 321321 ( )( )( )( ) sin( 1), 3!(21)!3!(21)! nn n izizzz shziizi izzz nn + = = + +=+ + + ? （5） 2 sinz 解：由于函数 2 sinz在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成z的幂级数 22 21 1 cos21(2 )(2 ) sin(1 1( 1) 222!(2 )! n n zzz z n + = + +? = 22 1 (2 )(2 ) ( 1), 2 2!2 (2 )! n n zz z n + + + + ? （6）sin z ez 解： 由于函数sin z ez在复平面内处处解析， 所以它在整个复平面内可以展开成z的幂级数 (1)(1) sin 22 izizizi z zz eeee eze ii + = 2222 1(1)(1)(1)(1) (1 (1)1 (1) 22!2! nnnn iziziziz i zi z inn + + ? = 2 12 2(1)(1) (2) 22! nn n iii izzz in + +?= 3 2 , 3 z zzz+ +? 7 求下列函数展开在指定点求下列函数展开在指定点 0 z处的泰勒展式，并写出展式成立的区域处的泰勒展式，并写出展式成立的区域 （1） 0 ,2 (1)(2) z z zz = + 解： 21 (1)(2)21 z zzzz = + ， 0 22111(2) 2 224224 1 4 n n n z z zz = = + + ， 0 11111(2) 2 123333 1 3 n n n z z zz = = + + 由于函数 (1)(2) z zz+ 的奇点为 12 1,2zz= = ， 所以这两个展开式在23z 内处处成 立所以有： 21 000 1(2)1(2)11 ()(2) ,23 (1)(2)243323 nn n nnnn nnn zzz zz zz + = = + （2） 0 2 1 ,1z z = 解：由于 2 11 1 (1)(1)( 1) (1),11 1 1 nn zzzz zz = + + + ? 所以 11 2 11 ( )1 2(1)( 1)(1),11 nn zn zz zz = = + +? （3） 0 1 ,1 43 zi z = + 解： 11111 3 4343(1)331 33(1)1 3 1(1) 1 3 zziiizii zi i = = 1 00 133 (1)(1) 1 3(1 3 )(1 3 ) nn nn nn nn zizi iii + = = 展开式成立的区域： 3 (1)1 1 3 zi i ，即 10 1 3 zi （4） 0 tan , 4 z z = 解： 2 tanseczz=， 2 tan2sectanzzz=， 22 tan2sec(2tan1)zzz=+， 2 4 tansec2 4 z z = =， 2 44 tan2sectan2 zz zzz = =， 22 44 8 tan2sec(2tan1) 3 zz zzz = =+=，故有 23 8 tan12()2()() 4434 zzzz = +? 因为tanz的奇点为, 2 zkkZ =+，所以这个等式在 44 z 的范围内处处成立。 8 将下列函数在指定的圆域内展开成洛朗级数将下列函数在指定的圆域内展开成洛朗级数 (1) 2 1 ,12 (1)(2) z zz + 解： 222 1112 () (1)(2)5211 z zzzzz = + , 1 00 1111 22222 1 2 nn nn nn zz z z + = = = = 22221 00 2 1111 ( 1)( 1) 1 1 1 nn nn nn zz zzzzz z + = = + + 222222 00 2 221212 ( 1)( 1) 1 1 1 nn nn nn zzzzz z + = = + + , 故有 212122 000 1112 ( 1)( 1) (1)(2)52 n nn nnn nnn z zzzz + = = + + (2) 2 1 ,01,1 (1) z zz zz + + 解： 222 112 (1)(1) z zzzzz + =+ 在01z内 2 22222222 00 112121121 2 (1)(1)1 nn nn z zz zzzzzzzzzzz = + =+= 在1z +内 22232323 3 00 1121211212 11 (1) (1)1 n n nn z z zzzzzzzzz z zz + = + =+=+=+=+ (3) 1 ,011,12 (1)(2) zz zz + 解：在011z内， 1 00 111111 (1)(1) (1)(2)11 11 1 (1)1 nn nn zz zzzzzzz = = = = 在12z +内 22 00 111111111 ( 1)( 1) 1 (1)(2)22 122(2)(2)(2) 1 2 nn nn nn zzzzzzzzz z + = = + + (4) 1 sin,01 1 z z + 解：在01z +内 321 111( 1) sin 113!(1)(21)!(1) n n zzznz + =+ + ? (5)cos,01 1 z z z + 解： 111 coscos(1)cos1cossin1sin 1111 z zzzz =+= 在01z +内 222 0 11( 1)( 1) cos1 12!(1)(2 )!(1)(2 )!(1) nn nn n zznznz = = += ? 32121 0 111( 1)( 1) sin 113!(1)(21)!(1)(21)!(1) nn nn n zzznznz + = =+= + ? 故有 111 coscos(1)cos1cossin1sin 1111 z zzzz =+= 221 00 ( 1)( 1) cos1sin1 (2 )!(1)(21)!(1) nn nn nn nznz + = = + 9 将将 22 1 ( ) (1) f