小学趣味算式

小学趣味算式趣味算式（一）趣味算式是指与数字及其运算有关的趣味数学问题。这类问题的题目类型多样，解题方法灵活，有利于提高逻辑思维能力和推理能力，也有利于提高计算能力。解题时主要运用有关整数运算方面的知识，所以也有利于巩固整数运算的有关性质和法则。解答趣味算式题，首先要熟悉以下的一些基本知识1和、差、积、商的位数（1）两个n位数的和，最多是n1位数，最少是n位数（n是自然数）。如9999991998，100100200。一个m位数与一个n位数的和（mn，m、n是自然数），最多是m1位数，最少是m位数，如999991098，10001001100。（2）两个n位数的差（n是自然数），最多是n位数，如991089。一个m位数与一个n位数的差（mn，m、n是自然数），最多是m位数，最少是一位数，如99910989，10009991。（3）两个n位数的积，最多是2n位数（n是自然数），最少数2nl位数，如99999801，1010100。一个m位数与一个n位数的积，最多是mn位数，最少是mn1位数（m、n是自然数），如9999998901，100101000。（4）两个n位数的商，当商是自然数时，它是一位数（n是自然数）。一个m位数除以一个n位数，当商是自然数时，它最多是mn1位数，最少是mn位数（mn，m、n是自然数），如999911909，10019111。2乘数与积的个位数字如果已知两个数相乘积的个位数字，那么两个乘数的个位数字的可能情况见下表：如果n个数的个位数字都相同，那么它们的积的个位数字的可能情况见下表：3奇偶性我们知道2，4，6，8，10，12，这些数是偶数，1，3，5，7，9，11，这些数是奇数，奇、偶数在运算中有以下一些基本性质：（1）n个偶数的和、差、积还是偶数，如81624，382018，16464。（2）两个奇数的和与差都是偶数，如7916，1376。（3）两个奇数的积还是奇数，如7535。（4）一个奇数与一个偶数的和与差都是奇数，如347，1275。（5）一个奇数与一个偶数的积是偶数，如14342。下面分类介绍趣味算式问题，这一讲先讲“添运算符号”问题。按题目给定的条件和要求，添运算符号或括号，是数字趣题中较简单的一类问题。解这类问题，没有一定的法则，需进行试添，试添可以从前往后顺推，也可以从后往前倒推，使问题逐步由繁到简，最终得到解决。例1 王老师批改作业时发现，李强同学的一个计算题的结果正确，但丢掉了括号，于是出现了如下错误等式：98126245请你替李强同学添上括号，使等式成立。分析与解：因为没有括号的算式，要求先乘除后加减，所以添括号应在含有加、减运算符号的各数中考虑，比如对62添括号，计算得4，又因为6前面是除号，所以6前面的算式如果能得180，就可以求得本题的一个解，而9（812）正好等于180，于是得到本题的一个解：9（812）（62）45又因为（812）（62）5，于是又得本题的一个解：9（812）（62）45例2 在下面等式中的内填上适当的运算符号，也可以添上适当的括号，使等式成立。98765432160分析与解：因为题目给出的数字较多，所以要分段试填运算符号。如将等式左边分成前四个数字和后五个数字这样两段，如果54321中的都填加号，则得15，那么9876中的填运算符号后，只要它与15进行运算后得60，就能得到题目的一个解。因为98764，所以本题的一个解是（9876）（5432l）60又如对前五个数进行试填，因为（9876）510，而后四个数43216，这样又可以得到题目的一个解：（9876）5（4321）60本题还有其他解，请同学们自己找找。例3 在下列数字间，添上运算符号和括号，使等式成立。4 4 4 41 4 4 4 42 4 4 4 43 4 4 4 44 4 4 4 45 （天津市“我爱数学”竞赛试题）分析与解：可以从后往前进行倒推，如中的最后一个4前面先添一个“”号或“”号，即4 4 441于是问题转化为对4 4 45进行试添运算符号，显然44 4 5，于是得到的一个解：44441若在最后一个4前添“”号，即4 4 441问题又转化为对4444进行试添运算符号，显然4444，于是又得到的一个解：（444）41如果把四个4分成前后各两个数来考虑，则又可得下面的解：（44）（44）1（44）（44）1（44）（44）1、也有多种添法，请同学们自己动手试填。例4 把、四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立。（5137）（179）12分析与解：按运算顺序，等式中两个括号内的数要先进行计算，最后进行两个括号之间的运算。所以解本题，应先确定两个括号之间的符号。在试填过程中发现，如果括号之间填“”号，其它三个内填“”、“”、“”，则不论怎么填都不能使等式成立；如果在两个括号之间用“”或“”，也不能使等式成立。当两个括号之间用“”时，因为要求前面括号内计算结果是后面括号内计算结果的12倍，所以后面括号内的应填“”号，即1798；因为513796，于是本题的解是（5137）（179）12例5 在下面的十五个3之间添上、号，使下面的算式成立。3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31993分析与解：因为本题数字多，也不限制必须每两个数字间都要添运算符号，所以可将给的数字，先凑出一个接近1993的数，如3333333332110就是一个接近1993的数，而且已经用了九个3，剩下六个3，因为21101993117，所以只要用剩的六个3凑出一个117的数就可以了。因为33399，（33）318，9918117，所以得到本题的一个解333333333333（33）31993本题也可以用另外的方法凑出接近1993的数，如333333331998，因为199819935，所以只要用剩下的七个3凑出一个5即可，实际上33333335，所以又得到本题的一个解3333333333333331993例6 在算式123456789303的合适位置添上括号（ ），使等式成立。分析与解：这种题目只能用试验方法，找到题目的解。因为添括号是为了改变运算顺序，所以要把先乘后加，用括号改为先加后乘，另外要考虑括号内应包含哪些数，也就是括号应添在哪个位置。下面进行试算。括号放在（12345678）9303处，显然不行，因为左边运算结果比303大，另外括号内不论得什么数，也不可能是303除以9的商。括号放在（1234567）89303处，显然等于没有添括号。括号放在（123456）789303处试算的结果，等式正好成立，所以本题的解是（123456）789303趣味算式（二）这一讲介绍如何解“填数字”问题。这类问题和添运算符号不同，它已经给出运算关系，而要求填写出数字。解决填数字问题，也没有一定法则，掌握这类问题的解法，首先要熟悉第三讲提到的整数运算的有关基本知识，还要掌握一些解题技巧，例如要用到列举法、筛选法、反证法等。解这类问题的关键，是找到解题的突破口。例1 把19这九个数字，分别填入下面算式的内，使每个等式都成立。 分析与解：因为19这九个数，每取三个数字试乘的情况，要比试加、试减的情况简单，所以应从式入手试填，试填发现有两种情况：236与248符合题目要求。因为19九个数中，有四个偶数和五个奇数，而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数，一奇一偶的积、差又都是奇数，这就决定了、两式中，只能含有偶数个奇数，而式中又不可能含3个奇数，所以式只能是236。第二步，由剩余的六个数字组成式，它们的可能情况是，145，189，178，459，经试填发现，在145和189的条件下，无法组成式，所以应舍去。当178时，式的组成是954或945，当459时，式的组成是817或871，所以满足题目要求的解有本题的分析、解题过程说明，以式入手就是找到了突破口，然后列举可能出现的情况，运用和整数运算有关的知识，将不符合条件要求的情况筛选掉，可以得到题目的解答。例2 有一个算式，式中画的“”表示缺掉的数字，求除数的所有不同的质因数的和。（本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题）分析与解法1：为了便于分析，将算式中的部分待定数字用字母代替。所以商数为989。第一个数字只能是9，式的第一个数字只能是8，所以b1，C2；分析与解法2：本题也可以直接求得除数。位数字为8。因为式的三位数减去式的三位数得三位数，可以判定8与除数的十位数字相乘没有进位，所以b1，或b0，又因为很容易判定d9，所以b0是不可能的。通过试乘，除数取113时，则1138904，积的首位数字大于8，不符合要求，而除数取111时，则1119999，不是四位数，也不符合要求，所以除数只能是112。如果本题要求把所有缺掉的数字都补上，那也不难，因为求得除数和商数后，除法竖式就成为已知。例3 下列乘法竖式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，请你用合适的数字代替汉字，使乘法竖式成立。分析与解：显然，本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手。因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”，所以“大”表示1。因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为1，所以只能是“山”表示9。因为被乘数的百位数字“好”，与乘数9相乘时没有进位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示0。因为被乘数的十位数字“河”与乘数9相乘，积的个位数字是0，而被乘数的个位数字9与乘数9相乘时，向十位进8，所以“河”表示8。所以本题的解是例4 下列加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用合适的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解：从加数与和的个位数字入手。因为YNNY，所以N5或N0，但N5时，加数的十位数字TEE的和就不可能得T，所以只能是N0，同时判定E5。因为加数的百位数字相加，必须向千位进1或2，且千位还必须向万位进1，所以表示09，同时判定I1。因为加数百位数字的和要向千位进2，所以它在22至28之间，可判定T7或T8。若T7，则R8，X3，这时，只剩数字2、4、6还没有取用，它们要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出现矛盾，即T不能是7。当T8时，则R6或R7，而R6时，X3，乃出现矛盾，所以只能取R7，这时，X4，所剩数字为2、3、6，取S3，F2，Y6，就全部完成数字代替字母的解题过程，题目给出的加法竖式是（本题是美国数学月刊上的一个数字趣题。其中三个加数与和，正好是英文的四个数词40、10、10、60）下列加法竖式，是一个和例4类似的数字趣题，其中三个加数与和，也正好是英文的四个数词，它们是5、2、1、8，请同学们自己动手解这道题。例5 下列算式中的O代表奇数，X代表偶数。请你用适当的数字代替O和X，使算式成立。分析与解：从被乘数、乘数和部分积入手，因为被乘数OX X与乘数个位数字X相乘，部分积是一个四位数，并且它的个位数字是偶数。因为18881504，其千位数字是1；所以被乘数O中的百位数字O要大于1；因为用O乘以乘数的十位数字X得数不大于8，所以被乘数O中的O只能是3，而乘数中的十位数字只能是2。在此条件下可以进行试乘，按要求被乘数3乘以乘数的十位数字2，应该得O。从试乘中得知，被乘数3只能取306，308，326，346，348，而这些数再乘以偶数4或6，都不能得到O，而乘以8时，只有其中的346、348可以得到O，但是由于346289688，不符合最后得积OO的要求，所以本题只有唯一解例6 下列的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，如果它们都成立。迎迎春春杯迎迎杯 数数学学数赛赛数 春春春春迎迎赛赛 那么，迎春杯数学赛？（1988年北京市迎春杯数学竞赛试题）分析与解：因为中的乘数相同，所以试乘过程中的情况最少，经试乘得88887744，所以，春8，迎7，赛4，再代入得77886776，所以，杯6。再分析，被乘数是“数数”，而乘积的个位数字也是“数”，这就是说，除去8、7、4三个数，剩余的1、2、3、5、9中，只有5能满足这个要求，所以，数5；而且“学”必须是奇数，从1、3、9三个奇数中试乘结果知，学9，即；55995445。所以迎春杯数学赛78659439例7 有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来，制作了一些风格优异的小品，下面就是其中的一例。年年岁岁花相似 岁岁年年人不同 上面的两个算式中，相同的汉字表示相同的数字