导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 第一部分：历届导数高考压轴题 (全国2理)设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围（全国1理）已知函数.（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围.（全国1理）设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围（全国2理）设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围（辽宁理）设函数.求的单调区间和极值;是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.（新课标理）设函数=.（）若，求的单调区间;（）若当x0时0，求a的取值范围.（新课标文）已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围.（全国大纲理）设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.例题：若不等式对于恒成立，求的取值范围第二部分：泰勒展开式 1.其中；2. 其中；3.，其中；4. ，其中；第三部分：洛必达法则及其解法洛必达法则：设函数、满足：（1）；（2）在内，和都存在，且；（3） （可为实数，也可以是）.则.1.（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.常规解法（）略解得，.（）方法一：分类讨论、假设反证法由（）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，可得；当时，可得，从而当且时，即；（ii）当时，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾.（iii）当时， ，而，故当时，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.注：分三种情况讨论：；不易想到.尤其是时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.洛必达法则解法当，且时，即，也即，记，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，当时，；当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有 ，即当时，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.2.（新课标理）设函数.（）若，求的单调区间；（）当时，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（）当时，即.当时，；当时，等价于.记 ，则. 记 ，则，当时，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.例题：若不等式对于恒成立，求的取值范围.应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，即有.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现“”型式子.（海南宁夏文）已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数当时，即.当时，；当时，等价于，也即.记，则.记，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.（全国大纲理）设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，当时，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，所以.综上所述，的取值范围是.（全国2理）设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围解：（） 当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间