工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析

1 第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有 扭矩（Mx）或剪力（FQy或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布 内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。 9- 1 圆轴扭转时横截面上的切应力 9 - 1 - 1 圆轴扭转变形特征 反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 9 - 1 - 2 变形协调方程 9 - 1 - 3 物性关系剪切胡克定律 9 - 1 - 4 静力学方程 9 - 1 - 5 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 9- 2 非圆截面杆扭转时的切应力 9 - 2 - 1 截面翘曲非圆截面杆扭转时的变形特征 9 - 2 - 2 直接由平衡得到的结论 9 - 2 - 3 薄膜比拟与切应力表达式 9- 3 薄壁截面梁横截面上的切应力流与弯曲中心 2 9 - 3 - 1 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流 9 - 3 - 2 弯曲中心 9- 4 横向载荷作用下开口薄壁杆件的扭转变形 9- 5 结论与讨论 9 - 5 - 1 不同变形情形下切应力的不同特点 9 - 5 - 2 薄壁截面梁的弯曲切应力公式 推广应用到实心截面梁 9 - 5 - 3 薄壁截面梁弯曲切应力公式推广到实心截面梁时 的误差分析 9 - 5 - 4 薄壁截面细长梁弯曲切应力与弯曲正应力的量级 比较 9 - 5 - 5 薄壁截面细长梁与实心截面梁上外力简化时简化 中心的不同选择 习 题 本章正文 返回总目录 3 第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析 9 1 圆轴扭转时横截面上的切应力 工程上将传递功率的构件称为轴， 且大多数情形下均为圆轴。 当圆轴承受绕轴线转动 图 91 承受扭转的轴 的外扭转力偶作用时（图 9 一 1） ，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上 的外扭转力偶矩 Mx（单位为 Nm）与轴传递的功率 P（单位为 kw） 、轴的转速 n（单位 为 rmin）有如下关系： r/min kW mN e 9549 n P M= (91) 不难看出，圆轴(图 92a)受扭后，将产生扭转变形（twist deformation） ，如图 92b 图 92 圆轴的扭转变形 所示。圆轴上的每个微元（例如图 92a 中的 ABCD）的直角均发生变化，这种直角的改变 量即为切应变，如图 9 一 2c 所示。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力（图中 AB 和 CD 边对应着横截面；AC和 BD 边则对应着纵截面） ，分别用 和 表示。应用 4 平衡关系（作用在 AB 和 CD 边上的力组成的力偶与作用在 AC 和 BD 边上的力组成的力偶 大小相等方向相反） ，不难证明： (92) 这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理（theorem of conjugate shearing stresses） 。 9 1 1 圆轴扭转变形特征 反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 运用反对称性可以证明，圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面。 首先证明：受扭后横截面上各点依然处在同一平面内。 图 93 圆轴扭转时横截面保持平面 考察受扭圆轴某一横截面周边上任意两点 C 和 D。假定受扭后二者分别移至 C 和 D （图 93a） 。根据圆轴的轴对称性质，C、D 两点必须具有相同的位移。这要求 C和 D两 点仍在同一圆周上，且弧长 CDCD。 应用反对称性可以证明 C和 D两点是否与 C 和 D 两点同处于一个圆周上。假设 C和 D两点与 C、D 不在同一圆周上，而位于 C、D 的一侧，例如图 93b 所示的左侧。其结果 是，位于一端（A 端）的观察者会发现在受扭后横截面将沿远离自己的方向发生位移；而位 于另一端（B 端）的观察者，由于圆轴受扭方向与在 A 端观察者所看到的完全相同，因而也 应得到相同的结论，即横截面将发生沿远离观察者方向的位移。这显然是矛盾的。这表明： 受扭后 C、D 两点仍在原来的圆周上。 将上述分析过程应用于圆轴的半径不等的柱面，可以得到类似的结论。 据此，可以得到第一个结论：圆轴受扭后，其横截面依然保持平面，其上的各点只能在 同一平面内转动（图 93c） 。 其次证明：受担后圆轴横截面只发生刚性转动。 上述关于横截面依然保持平面的结论， 并未排除横截面上不同半径圆周发生不等量转动 的可能性。应用反对称性和反证法，可以证明不存在这种可能性。 假设横截面上各同心圆发生不等量转动，则其上直径将不再保持直线而将变成一曲线。 这时，位于两端的观察者所见到的这一曲线将具有完全相反的形状（图 93d 和 e） 。这当 然也是矛盾的。可见，圆轴受扭后，其横截面上的直径依然保持为直线。 综上所述，可以得到关于圆轴扭转变形的重要结论：圆轴受扭后，其横截面保持平面， 并发生刚性转动。 5 9 1 2 变形协调方程 图 94 圆轴扭转时的变形协调关系 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在 dx 长度上，虽然 所有圆柱的两端面均转过相同的角度 d，但半径不等的圆柱上产生的切应变各不相同，半 径越小者切应变越小，如图 94a、b 所示。 设到轴线任意远处的切应变为（） ，则从图 94 中可得到如下几何关系： ( ) xd d （93） 式中， xd d称为单位长度相对扭转角（angle of twist per unit length of the shaft） 。对于两相邻 截面， xd d为常量，故式（93）表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的切应变与该点 至截面中心之间的距离成正比。式（93）即为圆轴扭转时的变形协调方程。 9 1 3 物性关系剪切胡克定律 若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，切应力 与切应变之间存在线性关系，如图 95 所示。根据本书第 6 章中的式（64） ，有 G 此即为剪切胡克定律（Hooke law in shearing） 。 图 95 剪切切克定律 9 1 4 静力学方程 6 将式（93）代人上式，得到 ( )( ) = x GG d d （94） 其中， x G d d对于确定的横截面是一个不变的量。 于是，上式表明，横截面上各点的切应力与点到截面中心的距离成正比，即切应力沿横 截面的半径呈线性分布，方向如图 96a 所示。 图 96 圆轴扭转时横截面上的切应力分布 作用在横截面上的切应力形成一分布力系， 这一力系向截面中心简化结果为一力偶， 其 力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有 ( ) x A MA d (95) 此即静力学方程。 将式（94）代人式（9 一 5）后，得到 P d d GI M x x (96) 其中， A AId 2 P (97) 根据上一章的分析，IP就是圆截面对其中心的极惯性矩。式（96）中的 GIP称为圆轴的扭 转刚度（torsional rigidity） 。 9 1 5 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 将式（96）代入式（94） ，得到 ( ) P I Mx (98) 这就是圆轴扭转时横截面上任意点的切应力表达式，其中 Mx由平衡条件确定；IP由式（9 7）积分求得（参见图 46b 中微元面积的取法） 。对于直径为 d 的实心截面圆轴： 4 P 32 d I (99) 对于内、外直径分别为 d、D 的空心截面圆轴 7 () 4 4 P 1 32 Dd I D ， (910) 从图 96a 中不难看出，最大切应力发生在横截面边缘上各点，其值由下式确定： PP W M I M xx = max max (911) 其中， max P P I W = (912) 称为圆截面的扭转截面系数（section modulus in torsion） 。 对于直径为 d 的实心圆截面 3 P 16 d W (913) 对于内、外直径分别为 d、D 的空心截面圆轴 () 3 4 P 1 16 Dd W D ， (914) 【例 91】 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联， 并传递功率， 如图 97 所示。 已知轴的转速 n=100 r/min， 传递的功率 P7.5 kW。 若二传动轴横截面上的最大切应力均等 于 40 Mpa，并且已知空心轴的内、外直径之比0.5，试确定实心轴的直径与空心轴的外 直径。 图 97 例 9l 图 解：由于二传动轴的转速与传递的功率相等，故二者承受相同的外加扭转力偶矩，横截 面上的扭矩也因而相等。根据式（91）求得 e 7 5 9549N m=716.2 N m 100 . x MM = 设实心轴的直径为 d1，空心轴的内、外直径分别为 d2和 D2。对于实心轴，根据式(910) 和(913)和已知条件，有 max 3 P1 16 xx MM Wd = 4 MPa 由此求得 3 1 6 167162 m=0.045m=45mm 40 10 . d = 对于空心轴，根据 () max 34 P 2 16 1 xx MM WD = p 4 MPa 算得 8 () 3 2 46 16 7162 m=0.046m=46mm 1 0.540 10 . D = d20.5D2=23 mm 二轴的横截面面积之比为 () 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 = = D d A A 可见，如果轴的长度相同，在最大切应力相同的情形下，实心轴所用材料要比空心轴多。 【例 92】 图 98 所示传动机构中，功率从轮 B 输人，通过锥形齿轮将一半传递给 铅垂 C 轴，另一半传递给 H 水平轴。已知输入功率 P114 kW， ，水平轴（E 和 H）转速 nln2120 r/min；锥齿轮 A 和 D 的齿数分别为 z136，z212；各轴的直径分别为 d170 mm，d250 mm，d335 mm。试确定各轴横截面上的最大切应力。 图 98 例 92 图 解：1各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P114 kw， P2 P3P127 kw 转速分别为 n1 120 rmin 360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 据此，算得各轴承受的扭矩： mN7185mN 360 7 9549 mN557mN 120 7 9549 mN1114mN 120 14 9549 e22 e22 1e1 = = = = = = .MM MM MM x x x 2计算最大切应力 E、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为 ( ) 6 1 max 3- 9 P1 16 1114 EPa16.54 10Pa16.54MPa 7010 x M W = 9 ( ) 6 2 max 3- 9 P2 16 557 HPa22.69 10Pa22.69MPa 5010 x M W = ( ) 6 3 max 3- 9 P3 16 1857 CPa21.98 10 Pa21.98MPa 3510 . x M W = 9 2 非圆截面杆扭转时的切应力 9 2 1 截面翘曲非圆截面杆扭转时的变形特征 由于非圆截面杆不具有轴对称性质， 故当杆的横截面转过一角度时， 位于固定位置的观 察者所看到的截面形状是不同的。 因此， 上一节应用反对称分析所得到的关于横截面保持平 面的结论将不再成立。 试验结果表明：非圆（正方形、矩形、三角形、椭圆形等）截面杆扭转时，横截面外周 线将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内。由此推定，杆横截面将不再保持平面，而 发生翘曲（warping） 。图 99a 中所示为一矩形截面杆受扭后发生翘曲的情形。 由于翘曲，非圆截面杆扭转时横截面上的切应力将与圆截面杆有很大差异。 9 2 2 直接由平衡得到的结论 考察图 99a 中所示的受扭矩形截面杆上位于角点的微元（图 99b） 。假定微元各面 图 99 非圆截面杆扭转时的翘曲变形 上的切应力如图 99c 中所示。由于垂直于 y、z 坐标轴的杆表面均为自由表面（无外力作 用） ，故微元上与之对应的面上的切应力均为零，即 0= zxzyyxyz 根据切应力成对定理，角点微元垂直于 x 轴的面（对应于杆横截面）上，与上述切应力 互等的切应力也必然为零，即 10 0= xzxy 采用类似方法， 读者不难证明， 杆件横截面上沿周边各点的切应力必与周边相切。 于是， 根据平衡分析，得到下列重要结论： 非圆截面杆扭转时，横截面上周边各点的切应力沿着周边切线方向。 对于有凸角的多边形截面杆，横截面上凸角点处的切应力等于零。 9 2 3 薄膜比拟与切应力表达式 确定非圆截面杆扭转时横截面上的切应力，通常采用弹性力学方法和薄膜比拟法。 所谓薄膜比拟（membrane analogy）是指在与截面形状相同的框架上蒙上弹性薄膜，并 在框架一侧施压， 则截面上某一点处的切应力方向与对应点处薄膜的水平切线方向相同； 切 应力数值与该处薄膜的最大倾角存在一定的比例关系。 例如， 图 910a 中所示为矩形截面杆扭转时的薄膜比拟。 设 K 为矩形截面上的任意点， K为薄膜上与点 K 相对应的点。 点 K处薄膜的水平切线方向即为点 K 处切应力作用线方 向；点 K处薄膜的最大倾角与点 K 的切应力数值存在着一定的比例关系。而作用在杆件 横截面上的扭矩则与薄膜与框架所在平面之间的体积成比例。 根据薄膜比拟的结果，可以得到矩形截面上切应力分布，如图 910b 所示。 图 910 薄膜比拟与切应力分布 从薄膜比拟的结果可知，薄膜上与截面长边中点 H 对应的点 H处的倾角最大。这表 明，最大切应力发生在矩形截面的长边中点处。其值为 2 1 max hbC Mx = （915） 在短边中点处，切应力 max1 C = （916） 式中，C 和 C1为与长、短边尺寸之比 hb 有关的因数。表 91 中所示为若干 hb 值下 的 C 和 C1数值。 当别 hb10 时，截面变得狭长，这时 C=03331/3，于是，式（915）变为 11 2 max 3 hb M x = （917） 这时，沿宽度 b 方向的切应力可近似视为线性分布。 表 91 矩形截面杆扭转切应力公式中的因数 h/b C1 C1 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.312 0.333 1.000 0.895 0.795 0.766 0.750 0.745 0.743 0.743 0.743 矩形截面杆横截面单位扭转角由下式计算： = 4 4 3 12 1210 3 1 h b h b Ghb Mx . (918) 式中，G 为材料的切变模量。 9 3 薄壁截面梁横截面上的切应力流与弯曲中心 9 3 1 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流 对于薄壁截面梁，弯曲时与剪力相对应的切应力具有下列显著特征： n 根据切应力成对定理，若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的切应力作用线必 平行于截面周边的切线方向，并形成切应力流（shearing stress flow） 。 n 由于壁很薄，故切应力沿壁厚方向可视为均匀分布。 由此可见，在薄壁截面上与剪力相对应的切应力可能与剪力方向一致，也可能不一致。 如图 911a 所示。 假定平面弯曲正应力公式成立所需的条件都得以满足， 则采用考察局部平衡的方法， 可 以确定相关纵截面上切应力的方向， 从而确定薄壁杆件横截面在截开处切应力的方向， 如图 911b 所示。据此，由切应力互等定理即可确定横截面上切应力流的方向。 12 图 911 薄壁截面梁横截面上的切应力流 以图 912a 中的壁厚为的槽形截面梁为例。首先沿梁长方向截取微段 dx，并确定其 上剪力和弯矩的实际方向，如图 912b 所示；其次再从微段的上、下翼缘截取一局部，其 上受力如图 912c 所示，根据局部平衡的要求，即可确定上、下翼缘上切应力的方向。腹 板上的切应力方向亦可采用类似方法确定。 当薄壁截面周边与剪力作用线平行时， 切应力方 向与剪力方向一致。 从要求切应力处截出局部（图 912c） ，考察其受力与平衡，由平衡方程= 0 x F，有 ()()0dd NNN =+xFFF xxx * （a） 图 912 切应力流方向的确定 其中， = A xx AFd N * （b） () +=+ A xxxx AFFddd NN * （c） 13 将正应力 z z x I yM * = 代入上式，考虑到 = * * A z AySd,得到 z zz x I SM F * = * N （d） () z zzz xx I SMM FF * d d * N * N + =+ （e） 将式（d） 、 （e）代人式（a） ，利用 Q d d F x Mz = ，并由切应力互等定理，得 z z I SF * Q = (919) 此即薄壁截面杆件弯曲切应力的一般表达式。其中， FQ所要求切应力横截面上的剪力； Iz整个横截面对于中性轴的惯性矩； 通过所要求切应力点处薄壁截面的厚度； * z S过所要求切应力点，沿薄壁横截面厚度方向将横截面分为两部分，其中任意部 分对中性轴的静矩。 上述切应力表达式中，FQ、Iz对于某一截面为确定量；而 和 * z S则不然，它们对于同 一截面上的不同点，有可能数值不等。其次，上述 4 个量中，FQ和 * z S都有正负号，从而导 致切应力的正负号。实际计算中可以不考虑这些正负号，直接由局部平衡先确定 的方向， 再由 的方向确定 的方向。 9 3 2 弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方向，所以，与切应力相对 应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化， 将得到不同的结果。 如果向某一点简化结果 所得的主矢不为零而主矩为零，则这一点称为弯曲中心或剪切中心(shearing center)。 以图 913a 所示的薄壁槽形截面为例，先应用式（920）分别确定腹板和翼缘上的切 应力1和2（图 913b 和 c）分别为 ()bhh y h bhF 6 4 6 2 2 2 Q 1 + + = （腹板） ()bhh sF 6 6 2 Q 2 + = （翼缘） 然后由积分求得作用在翼缘上的合力 FT为 = b T sF 0 2 d 14 作用在腹板上的剪力 FQ仍由平衡求得。于是，横截面上由切应力所组成的合力如图 913d 所示。 图 913 弯曲中心 这时，如果将 FT、FQ等向截面形心 C 简化，将得到主矢 FQ和主矩 M，其中 MFTh FQe，如图 9 13e 所示。 若将 FT、FQ等向截面左侧点 O 简化，则有可能使 M0。点 O 便为弯曲中心，如图 9 13f 所示。 设弯曲中心 O 与形心 C 之间的距离为 e，则 Q T F hF ee+= 表 92 常见薄壁截面弯曲中心的位置 表 92 中所列为几种常见薄壁截面弯曲中心的位置。 15 对于具有两个对称轴的薄壁截面，二对称轴的交点即为弯曲中心。 9 4 横向载荷作用下开口薄壁杆件的扭转变形 载荷作用线垂直于杆件的轴线，这种载荷称为横向载荷（transverse load） 。 对于开口薄壁截面杆， 由于与剪力方向不一致的切应力的存在， 横截面上由切应力所组 成的力对加力点简化的结果不仅有非零的主矢，而且有非零的主矩（图 913e） ，从而使截 面发生绕弯曲中心的转动，这时，杆件除弯曲外，还将产生扭转变形。图 914 所示为开口 薄壁圆环截面梁、不等边角钢截面梁、槽形截面梁弯曲时发生扭转变形的情形。 图 914 开口薄壁截面梁的弯曲与扭转变形 由于开口薄壁截面梁扭转时横截面将发生翘曲， 在很多情形下， 各横截面的翘曲程度又 各不相同，因而将产生沿轴线方向的正应变，从而在横截面上产生附加正应力。同时，还会 产生附加切应力。这是很多工程构件设计所不希望的。 从图 913f 可以看出，当横向载荷作用线通过横截面弯曲中心时，由于横截面上与切 应力对应的分布力系向弯曲中心简化结果只有非零的主矢， 故这时的横向载荷与剪力将使杆 只发生弯曲而不产生扭转。 9 5结论与讨论 9 5 1 不同变形情形下切应力的不同特点 所有切应力都将产生切应变，在这一点上，所有切应力都具有相同的性质。但是，不同 变形条件下的切应力都各具特点，因此，读者应注意以下几种情形下切应力的差异： n 扭转切应力与弯曲切应力分布及其分析方法的差异；对于实心截面杆，扭转与弯曲 切应力量级上的差异。 n 圆截面杆与非圆截面杆扭转切应力的差异。 n 实心截面杆与开口薄壁截面杆弯曲切应力的差异。 9 5 2 薄壁截面梁的弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁 切应力公式（919） ，也可以近似地推广应用于实心截面梁。 16 对于截面宽度与高度之比小于 1 的实心截面梁（图 915a） ，切应力沿截面宽度方向仍 可认为是均匀分布的。因此，前面所得到的薄壁截面杆件横截面上的弯曲切应力表达式（9 19）也是近似适用的。 图 915 几种不同截面上的弯曲切应力分布 n 宽度和高度分别为 b和 h的矩形截面 表达式（919）中的静矩 ( ) = + = 2 22 4 1 8242h ybhyh y h byAyS Cz * b= 于是，横截面上距离中性轴 y 远处的切应力 ( ) ( ) = 2 2 QQ 4 1 2 3 h y bh F I ySF y z z xy * (920) 切应力沿截面高度分布如图 915a 所示。最大切应力发生在中性轴上各点，其值为 bh FQ max 2 3 = (921) n 直径为 d的圆截面 ( ) 23 2 2 2 0 43 2 d / / * =y d AyyS d z ( ) ( ) = 2 QQ2 1 3 4 d y A F I ySF y z z xy * (922) 在中性轴上各点，切应力取最大值 A FQ max 3 4 = (923) 式中， 2 4 d A = 切应力分布如图 9 一 15b 所示。 17 需要指出的是，除 z 和 y 轴上各点的切应力方向与 FQ方向一致外，其余各点的切应力 都与 FQ方向不一致。例如，在截面边界上各点的切应力则沿着边界切线方向。 n 内、外直径分别为 d、D 的圆环截面 A FQ max 02= . (924) 式中， () 22 4 Dd A = n 工字形截面 工字形截面由上、下翼缘和腹板组成，由于二者宽度相差较大，铅垂方向的切应力值将 有较大差异，其铅垂方向的切应力分布如图 915c 所示。不难看出，铅垂方向的切应力主 要分布在腹板上。最大切应力由下式计算： * max Q max z z S I F = (925) 或中，为工字钢腹板厚度。对于轧制的工字钢，式中的 * maxz z S I 可由型钢规格表中查得。 9 5 3 薄壁截面梁弯曲切应力公式 推广到实心截面梁时的误差分析 弯曲切应力公式（920） ，对于薄壁截面梁是精确的；对于实心截面梁只有在少数情形 下是精确的。以宽度为 b、高度为 h 的矩形截面梁为例，由弹性力学得到的弯曲切应力精确 解为 z zQ yxxy I SF * = (926) 式中，因数与 b/h 比值有关。表 93 中给出了几种 b/h 下的 的数值。 表 93 值 h/b 2/1 1/1 1/2 1/4 1.0 1.04 1.12 1.57 2.30 9 5 4 实心截面细长梁弯曲切应力与弯曲正应力的量级比较 考察图 916 中所示的实心截面（圆截面或矩形截面）细长悬臂梁。该梁所有横截面上 18 的剪力均为 FQ FP；最大弯矩 Mz max FPl。于是，梁内横截面上的最大正应力和最大切 应力分别为 z z z z zz z bI SF bI SF W lF W M * maxP * max max Q max Pmax max = = 图 916 细长实心截面梁横截面上正应力与切应力量级比较 对于宽度为 b、高度为 h 的矩形截面 P 2 max P max 6 4 3 2 F l l bh F h bh = （927） 对于直径为 d 的圆截面 P 3 max P max 2 32 p 6 44 3 F l l d F d d = （928） 对于细长梁， 若 lph 或 lpd， 则梁内的弯曲正应力将是弯曲切应力的十几倍以至几十倍。 这时弯曲正应力对梁的变形和失效（例如破坏）的影响将是主要的，弯曲切应力的影响则是 次要的。 9 5 5 薄壁截面梁与实心截面梁上 外力简化时简化中心的不同选择 对于实心截面梁， 由于绝大多数情形下弯曲中心与截面形心重合， 因而确定横截面上的 内力分量时，外力无论是横向力（垂直于轴线方向）还是纵向力（平行于轴线方向）都应向 截面形心简化。一般受力情形下，会得到 6 个内力分量。 对于开口薄壁截面梁，当弯曲中心与截面形心不一致时，横向力应向弯曲中心简化，得 到 Mx， FQy， FQz， My， Mz。 这时所得到的 Mx才是引起扭转变形的全部扭矩。而向形心简化所得的 Mx则不然。 19 习 题 91 关于扭转切应力公式 ( ) P I Mx 的应用范围，有以下几种答案，请试判断哪一种是正确的。 （A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴； （C）等截面圆轴与椭圆轴； （D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 92 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴 的横截面上的最大切应力分别为1max和2max，材料的切变模量分别为 G1和 G2。关于1max和2max的大小， 有下列四种结论，请判断哪一种是正确的。 （A） 1max2max； （B） 1maxG2，则有 1max2max； （D） 若 G1G2，则有 1max2max。 93 长度相等的直径为 d1的实心圆轴与内、外直径分别为 d2、D2 (=d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的 最大切应力相等。关于二者重量之比（W1W2）有如下结论，请判断哪一种是正确的。 （A）( )2 3 4 1 ； （B） ( ) () 2 2 3 4 11 ； （C） ( )() 24 11 ； （D） ( ) () 2 3 2 4 11 94 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G12G2。圆轴尺寸如 图中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论， 请判断哪一种是正确的。 习题 94 图 正确答案是 。 正确答案是 。 正确答案是 。 正确答案是 。 20 95 图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩 Me=3 kNm。试求： 1轴横截面上的最大切应力； 2轴横截面上半径 r15 mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3去掉 r=15 mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。 习题 95 图 习题 96 图 96 开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为 Mx。试： 1证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力 I 2 max p 2 D Mx 2证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力 D Mx p 3 2 max 3画出两种情形下，沿壁厚方向的切应力分布。 97 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为 R0，空心圆轴的内、 外半径分别为 R1和 R2，且 R1/R2 =n；二者所承受的外加扭转力偶矩分别为 Mes和 Meh。若二者横截面上的 最大切应力相等，试证明： 2 2 eh es 1 1 n n M M + = 98 直径 d25 mm 的钢轴上焊有两圆盘凸台， 凸台上套有外径 D75 mm、 壁厚1 25 mm 的薄壁管， 当杆承受外加扭