向量自回归与ARCH、GARCH模型剖析

向量自回归预测是计量经济分析的重要部分，宽泛的说，依据时间序列数据进行经济预测的方法有五种：（1）指数平滑法；（2）单一方程回归模型；（3）联立方程回归模型；（4）单整自回归移动平均模型；（5）向量自回归模型（VAR，vector autoregression）。一、VAR的估计VAR方法论同时考虑几个内生变量，它看起来类似于联立方程模型。但是，在VAR模型中，每一个内生变量都是由它的滞后或过去值以及模型中所有其他内生变量的滞后或过去值来解释。通常模型中没有任何外生变量。在联立方程模型中，我们把一些变量看作内生的，而另一些变量看作外生的或预定的，在估计这些模型之前，必须肯定方程组中的方程是可识别的，而为达到识别的目的，常常要假定某些预定变量仅出现在某些方程之中，这些决定往往是主观的，因此这种方法受到C.A.西姆斯（Christopher Sims）的严厉批评，他认为如果在一组变量中有真实的联立性，这些变量就应该平等对待，而不应事先区分内生和外生变量，以此思路，其推出了VAR模型。例我们想考虑中国的货币（M1）与利率（R）的关系。如果通过格兰杰因果关系检验，我们无法拒绝两者之间有双向因果关系的假设，即M1 影响R，而R反过来又影响M1，这种情形是应用VAR的理想情形。假定每个方程都含有M1 和R的k个滞后值作为回归元，每个方程都可以用OLS去估计，实际模型如下：其中u是随机误差项，在VAR术语中称为脉冲值（impulses）。在估计以上方程时，必须先决定最大滞后长度，这是一个经验问题，包括过多的滞后项将消耗自由度，而且会引入多重共线性的可能性，而包含过少的滞后值将导致设定误差，解决这个问题的方法之一就是使用赤池、施瓦茨或汉南奎因准则中的某一个准则，并选择准则最低值的模型，因此，这个过程中试错法就不可避免。值得注意的是，向量自回归模型中同时引入同一变量的几个滞后项，可能因多重共线性而使每个估计系数在统计上都不显著，但基于F 检验它们可能是联合显著的。二、VAR建模的一些问题VAR的倡导者强调此法有如下的优点：（1）方法简单，无需决定哪些变量是内生的，哪些变量是外生的，VAR中的全部变量都是内生的。（2）估计简单：常用的OLS法可以用于逐个估计每一个方程。（3）在许多案例中，此方法得到的预测优于用更复杂的联立方程模型得到的预测。但VAR建模的批评者指出如下的一些问题：1、不同于联立方程模型，VAR利用较少的先验信息，所有是缺乏理论支撑的，因为在联立方程中排除或包含某些变量，对模型的识别起到关键性作用。2、由于重点放到预测，VAR模型不适合用于政策分析。3、实际上，对VAR建模最大的挑战在于选择适当滞后长度。假设有一个3变量的VAR模型，并且每个方程含有每个变量的8个滞后值，加上常数每个方程就会有25个参数，一个方程中估计如此多的参数将消耗大量自由度并带来种种问题。4、严格地说，在一个m变量的VAR模型中，所有的m个变量都应该是（联合）平稳的，如果是不平稳序列，则要通过差分变换数据，而变换数据得到的结果往往令人不满意，更糟糕的是，如果模型中各变量有的平稳，有的不平稳，如何变换数据将不是容易的事情。5、由于VAR模型中的系数往往难以逐一加以解释，VAR技术的应用是常常估计一种脉冲响应函数（IRF，impulse response function）。脉冲响应函数描绘VAR系数中的因变量如何响应于方程中误差项的冲击。假设在M1方程中的值增加一个标准差，这样的一个冲击或变化将会改变现期以及今后时期里的M1，但因M1出现在R的回归中，的变化将会影响R；与此类似，R方程中的的一个标准差变化将会影响到M1。脉冲响应函数跟踪这种冲击在将来若干个时期所起的影响。度量金融时间序列中的波动性：ARCH和GARCH模型现实世界中，诸如股票价格、汇率、通货膨胀等金融时间序列通常表现出群集波动（volatility clustering）的现象，即在相当长一段时期，其价格表现出大幅波动，然后又会在下一段时期内保持相对稳定。应该如何模型化可能存在这种波动性的金融时间序列呢？一般来说，这些序列是一个随机游走序列，我们能不能对其一阶差分进行建模呢？问题在于：金融时间序列的一阶差分通常变现出大幅摆动或变动，说明金融时间序列的方差也在随着时间而变化，如果模型化这种“变动着的方差”（一般而言，在金融时间序列中，这种变化的方差不是某个自变量的函数，而是随着时间变化并且依赖于过去误差的大小），恩格尔（Robert Engle，1982）提出了自回归条件异方差（ARCH，autoregressive conditional heteroscedasticity）模型解决此问题。例：，其回归误差的方差依赖于过去不久误差的变化程度，最简单的关系是：上式表明的方差由两部分组成：一个常数项和前一时刻关于变化量的信息，用前一时刻的误差平方和来表示，记这个模型为ARCH（1）。更一般地，方差可以看依赖于任意多个滞后变化量，记为ARCH（p）：如果回归系数全为0，说明不具有ARCH效应；如果回归系数不全为0，说明具有ARCH效应。由于是不能直接观测的，所有恩格尔证明了可以用如下回归来检验上述假设，验证ARCH效应：，其中表示残差。对上式可以通过通常的F检验或LM检验（即计算服从卡方分布的来检验）来判断是否具有ARCH效应。我们通常有理由认为的方差依赖于很多时刻之前的变化量，问题在于这样我们必须估计很多参数，这一点往往很难精确做到。可以看到：ARCH（p）就是的分布滞后模型，我们就能够用一个或几个的滞后值代替许多的滞后值（变形方法参看几何分布滞后模型），也就是广义自回归条件异方差（GARCH，generalized autoregressive conditional heteroscedasticity）模型，最简单的GARCH模型是GARCH（1，1）模型：该式表明t时期u的条件方差不仅取决于上一期误差项的平方，还取决于上一时期的条件方差。一般情形下，可以有任意多个ARCH项和GARCH项，GARCH（p，q）模型为：另外，ARCH和GARCH模型还可以进一步推广，它们的右边还可以包含外生或预定变量，但应该保证是非负的。与我们可以在描述的模型中加入外生或预定变量一样，我们也可以在回归方程的右边加入，这样的模型称为ARCH-M模型。在不加证明的情况下，指出一个结论：GARCH（p，q）模型等价于一个ARCH（p+q）模型。例：时间序列是上海证劵交易所1998年1月5日至2003年3月14日的交易日指数（收盘），请试建