2010年四川高考数学文科试卷带详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)一、选择题1.设集合A=3,5,6,8,集合B=4,5,7,8,则AB等于 ( )A.3,4,5,6,7,8 B.3,6 C. 4,7 D.5,8【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求两集合交集.【参考答案】D【试题解析】集合A与集合B中的公共元素为5,82.函数y=的图象大致是 ( ) A B C D【测量目标】对数函数的图象和基本性质.【考查方式】直接给出对数函数解析式，判断其函数图象.【参考答案】C【试题解析】由，知图象过（1,0）点且单调递增,所以选C.3.抛物线的焦点到准线的距离是 ( )A. 1 B.2 C.4 D.8【测量目标】抛物线的定义.【考查方式】直接由抛物线解析式求解.【参考答案】C【试题解析】由y22px8x知p4，有交点到准线的距离就是p，则抛物线到准线的距离为4.4.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( )A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6【测量目标】分层抽样.【考查方式】根据分层抽样方法由整体人数估计各层人数. 【参考答案】D【试题解析】因为， 故各层中依次抽取的人数分别是,.5.函数的图像关于直线对称的充要条件是 ( )A. B. C. D.【测量目标】充要条件的意义、函数图象与直线的关系.【考查方式】根据函数图象对称轴求解.【参考答案】A【试题解析】函数f(x)x2mx1的对称轴为x.于是1 m2（步骤2）6.设点是线段的中点,点在直线外, ,则 ( )A.8 B.4 C.2 D.1【测量目标】向量加法、减法的运算，平面向量的数量积.【考查方式】给出各向量的关系，借助向量加减法的运算求解.【参考答案】C【试题解析】由16,得4（步骤1）4（步骤2）而故2（步骤3）7.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图像的函数解析式是 ( )A. B.C. D【测量目标】函数的图象及其变换.【考查方式】已知正弦函数图象，判断它经过变换后的图象. 【参考答案】C【试题解析】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为ysin(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图像的函数解析式是.（步骤2）8.某加工厂用某原料由车间加工出产品,由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品,每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品,每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 ( )A甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 C甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱 D甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱【测量目标】二元线性规划的实际应用. 【考查方式】根据题目得出变量约束条件,画图求目标函数的最优解.【参考答案】B 【试题解析】设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱则（步骤1）目标函数z280x300y结合图象可得：当x15,y55时z最大（步骤2）本题也可以将答案逐项代入检验.9.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 ( )A.36 B.32 C.28 D.24【测量目标】排列组合的应用.【考查方式】根据题目所给条件分类讨论，得出满足条件的个数.【参考答案】A【试题解析】如果5在两端,则1、2有三个位置可选,排法为224种（步骤1） 如果5不在两端,则1、2只有两个位置可选,312种（步骤2） 共计122436种.（步骤3）10.椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ( )A. B. C. D.【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质.【考查方式】已知椭圆的标准方程形式、椭圆中线段间的特殊关系，利用线段关系转化为离心率求解.【参考答案】D【试题解析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,即F点到P点与A点的距离相等而|FA| |PF|ac,ac（步骤1）于是ac,ac即acc2b2ac.（步骤2）又e(0,1)故e（步骤3）11.设,则的最小值是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】通过添项，化为基本不等式形式求最值.【参考答案】D【试题解析】224（步骤1）当且仅当ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b满足条件.（步骤2）12.半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点、,那么、两点间的球面距离是 ( ) A. B.C. D. 【测量目标】余弦定理、三角形中两直线平行的条件 【考查方式】做辅助线求出相关量，借助余弦定理求解.【参考答案】A【试题解析】由已知,AB2R,BCR,故tanBACcosBAC（步骤1）连结OM,则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC,同理AN,且MNCD而ACR,CDR故 MN,(步骤2)连结OM、ON,有OMONR于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是.（步骤3）二、填空题13.(x)4的展开式中的常数项为_(用数字作答)【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足特殊条件的项.【参考答案】24【试题解析】展开式的通项公式为Tr1（步骤1） 取r2得常数项为(2)224.14.直线与圆相交于A、B两点,则 .【测量目标】圆的标准方程、圆与直线的位置关系.【考查方式】直接给出圆和直线的方程，求交点距离.【参考答案】【试题解析】圆心为(0,0),半径为2圆心到直线的距离为d（步骤1）故得|AB|2（步骤2）15.如图,二面角的大小是60,线段., 与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念.【考查方式】做辅助线将线面角转化为三角形的内角求解. 【参考答案】 【试题解析】过点A作平面的垂线,垂足为C,在内过C作l的垂线.垂足为D,连结AD,有三垂线定理可知ADl,故ADC为二面角的平面角为60（步骤1） 又由已知,ABD30 连结CB,则ABC为与平面所成的角 设AD2,则AC,CD1 AB4（步骤2）sinABC.（步骤3）（16）设为复数集的非空子集.若对任意,都有,则称为封闭集.下列命题：集合（为整数,为虚数单位）为封闭集；若为封闭集,则一定有；封闭集一定是无限集； 若为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件.【参考答案】【试题解析】直接验证可知正确.当为封闭集时,因为xy,取xy,得0,正确对于集合0,显然满足素有条件,但S是有限集,错误取0,0,1,满足,但由于011,故不是封闭集,错误三、 解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.（）求三位同学都没有中奖的概率；（）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.【测量目标】相互独立事件同时发生的概率、互斥事件概率加法公式.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么（步骤1）（步骤2）答：第三位同学都没有中奖的概率是.（步骤3）（）=或（步骤3）答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为（步骤4）18.（本小题满分12分）在正方体ABCDABCD中,点M是棱AA的中点,点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线； （）求二面角MBCB的大小 【测量目标】线线平行、垂直，线面垂直，二面角的概念.【考查方式】（1）通过做辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.（2）做辅助线将二面角转化为三角形内角求解.【试题解析】（1）连接AC,取AC的中点K,则K为BD的中点,连接OK.因为点M是棱的中点,点O是的中点,所以且 所以（步骤1） 由得（步骤2）因为所以所以所以（步骤3）又因为OM与异面直线都相交,故OM为异面直线的公垂线.（步骤4）（2）取的中点N,连接MN,则过点N作于H,连接MH,则由三垂线定理得,从而,为二面角的平面角.（步骤5）设AB=1,则MN=1, （步骤6）在中,故二面角的大小为（步骤7）19.（本小题满分12分）（）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.（）已知求【测量目标】两角和的正、余弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系.【考查方式】（1）建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明.借助诱导公式证明.（2）同角三角函数的转换.【试题解析】（1）在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角与,使角的始边为Ox,交圆O于点,终边交圆O于点;角的始边为,终边交圆O于点,角的始边为,终边交圆O于点则由及两点间的距离公式,得 （步骤1）展开并整理,得（步骤2）由易得,（步骤3）. = = （步骤4）(2)（步骤1）（步骤5）（步骤6）20（本小题满分12分）已知等差数列的前3项和为6,前8项和为4.（）求数列的通项公式；（）设,求数列的前n项和【测量目标】等差数列的前n项和.【考查方式】（1）根据等差数列的前n项和求通项公式.（2）借助等差数列求和公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设的公差为d,由已知得 解得（步骤1） 故（步骤2）（2）由（2）的解答可得,于是 （步骤3） 若将上式两边同乘以q有 （步骤4） 两式相减得到 = =于是,.（步骤5）21.（本小题满分12分）已知定点A(1,0),F(2,0),定直线l：x,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】（1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解.【试题解析】（1）设,则 化简得（步骤1）（2）当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为（步骤2） 与双曲线方程联立消去y得 由题意知,（步骤3） 设则 =（步骤4）因为所以直线AB的方程为因此M点的坐标为同理可得（步骤5）因此 = =0.（步骤6）当直线BC与x轴垂直时,其方程为则AB的方程为因此M点的坐标为同理可得.（步骤7）因此综上,即故以线段MN为直径的圆过点F.（步骤8） 22.（本小题满分14分）设（且）,g(x)是f(x)的反函数.（）求；（）当时,恒有成立,求t的取值范围；（）当0a时,试比较f(1)+f(2)+f(n)与的大小,并说明理由.【测量目标】反函数、对数函数的性质，导数的单调性与