2013年北海市高三第一次质量检测数学理试题

2013 年北海市高中毕业年级第一次质量检测 理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考试时间 120 分钟，满分 150 分，考生应首先阅读 答题卷上的文字信息，然后在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。 第卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式AB， ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径AB，R 球的体积公式)()()(BPAPBAP 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径nkR ( )(1)(01,2) kkn k nn P kC PPkn ， 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项正确。 ） 1计算复数的结果是（ ） 2 1 i zi i (A) (B) (C) (D) 13 22 i 13 22 i 31 22 i 31 22 i 2设集合，则（ ）(1,),ln(4)MNx yx() R MC N (A) (B) (C) (D) (4,)(,1(1,4(2,4) 3已知双曲线的离心率为，若它的一条准线方程为，则该双曲线的渐近 22 22 1 xy ab -=(0,0)ab31x= 线方程为（ ） （A） （B） （C） （D）2yx= 3yx= 2 2 yx= 3 3 yx= 4平面与球相交于周长为的，为上的两点，若，且两点的球面距O2 / OA,A B / OA 4 AOB =,A B 离为，则球心与圆心的距离 （ ） 2 4 O / O / OO = (A) (B) (C) (D) 2 2 122 5在等差数列中，则数列 的前 48 项和为（ ） n a 3 8a = 52 6aa=+ 1 1 nn a a + （A）2013（B）2012 （C） （D） 3 25 7 50 6已知为坐标原点，向量，且，则（ ）O(4,6),(3,5)OAOB =,/ /OCOA ACOB 3 OC = (A) (B) (C) (D) 3 12 5 2 13 7 5 27 3 7已知函数，则以下判断中正确的是（ ） 2 ( )2cossin21f xxx （A）函数的图像可由函数的图像向左平移而得到( )f x2cos2yx= 8 （B）函数的图像可由函数的图像向左平移而得到( )f x2cos2yx= 4 （C）函数的图像可由函数的图像向右平移而得到( )f x2sin2yx= 3 8 （D）函数的图像可由函数的图像向左平移而得到 ( )f x2sin2yx= 3 4 8已知为两条不同直线，为两个不同平面，则下列选项中能使成立的充分而不必要条件是,m n, / /mn (A) (B) / / ,/ / ,/ /mn ,mn (C) (D) / / ,/ /mn,mn 9设，则（ ） 3 2 2 3 ,log 4,aebce （A） （B） (C) (D) cabacbabcbca 10已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（ 32 3,0,) ( ) (3 )1,(,0) xx f x xaa xa x a ） （A） （B） (C) (D) 4,)3,)0,3(,13,) 11有黑、白、红三种颜色的小球各 5 个，都分别标有数字 1，2，3，4，5，现取出 5 个，要求这 5 个球的数 字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有（ ） (A) 120 种 (B) 150 种 (C) 240 种 (D) 260 种 12已知点在椭圆上且位于第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点到直线P 22 1 4520 xy +=P 的距离不大于 3，则实数的取值范围是（ ）43210 xym-+=m (A) (B) (C) (D) 9 11 , 2 2 (, 7)8,) 7,8 2,2 第第卷卷 二、填空题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在题中横线上 13设实数满足不等式,则的最小值是 . , x y, yx yx y 1 1yx 14函数的值域为 ( )sincos() 6 f xxx =-+ 15如果的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中项的系数为 32 1 (3)nx x 2 x 16如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面 111 ABCABC- 1 A 上的射影为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ABCDBCAB 1 CC 三三. 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤. 17在中，内角的对边分别是，已知，若，ABCD, ,A B C, ,a b c1c 3 C = ，求的面积.sinsin()3sin2CABB+-=ABCD 18如图所示，平面，点在以为直径的上，PA ABCCABOA ，点在上，且 0 30CBA2PAABM A AB/ /OMAC （）求证：平面平面；PAC PCB （）设二面角的大小为，求的值MBPCcos 19已知从地去地有或两条路可走，并且汽车走路堵车的概率为 1 4 ；汽车走路堵车的概率AB 为p若现在有两辆汽车走路，有一辆汽车走路，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。 （）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 7 16 ，求走公路堵车的概率； （）在（）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望 20已知函数在上为增函数，且， 1 ( )ln sin g xx x 1,)(0, ) 12 ( )ln me f xmxx x mR （）求的值； （）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围1, e 0 x 00 ()()f xg xm 21在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上横坐标为的点，xOyF 2 :2(0)C xpy pMC2 过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为 3 4 。,M F OQQC （）求抛物线和圆的标准方程；CQ （）若直线与抛物线有两个不同的交点， 与圆有两个不同的交点，求当 1 : 4 l ykxC,A BlQ,D E 时，的最小值 1 2 2 k 22 ABDE 22已知数列满足，是数列的前n项和 n a 2 1 2 (2)1( *) 1 nn n n nanan anN a n S n a （）若，求，并推证数列的通项公式； 1 1a 234 ,a a a n a （）若，求证： 1 1 3 , 2 2 a (1) 1(*) 2 n n n SnN 2013 年北海市高中毕业班第一次质量检测 理科数学参考答案及评分标准 说明： 1本参考答案提供一至两种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则； 2解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分； 3只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数。 一、选择题一、选择题 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） （11 ） （12） 答案DCABCBADCABC 二、填空题二、填空题: （13） （14） （15） （16） 1 2 3, 32835 7 4 三、解答题三、解答题: (17) 解，可得ABCsinsin()CAB 由，得，sinsin()3sin2CABB+-=sin()sin()3sin2ABABB+-= 即，可得2sincos6sincosABBBcos(sin3sin)0BAB 或 分cos0B sin3sinAB 或 5 分 2 B 3ab 若， 得 3 C 2 B 6 A 32 3 , 33 ab 的面积 8 分ABCD 13 sin 26 SabC 若，由余弦定理，得 3 C 3ab 222 2coscababC 22 1106cos 3 bb 即，解之得 ，从而 2 71b 7 7 b 3 7 7 a 的面积 10 分ABCD 13 3 sin 228 SabC (18) 解（）证明：点C在以AB为直径的O上， ，即. 2 分 90ACB=BCAC 而平面，平面，所以 . 4 分 PAABCBC ABCPABC 平面，平面， AC PACPAPACPAACA= 平面.BC PAC 而平面， 平面PAC平面. 6 分BC PBCPCB （）法一： AB为直径，为圆周角，ACB90ACB= 在中，ABC 00 30 ,90 ,2BCAB3,1BCAC 在中，PAC 0 90 ,2,1APAAC5PC 在中，PAB 0 90 ,2APAAB2 2PB 三边长，PBC2 2PB 5PC 3BC 90PCB= 设斜边上的高为，则， 8 分PB 1 h 1 11 22 PB hPC BC = 1 30 4 h = ，/ /OMAC 0 30CBA90ACB=60CABAOM= = 30ABM= 连接，易求AM3,5MBMP= 三边长，PMB2 2PB 5PM 3MB 90PMB= 设斜边上的高为，则， 10 分PB 2 h 1 11 22 PB hPM MB = 2 30 4 h = 过点作边上的垂线，垂足为，连接，CPBEME ，则， 3 BEBE CBEMBE CBMB = = = ()CBEMBE SASDDCEBMEB= MEPB 为二面角的平面角，MECMBPC 在中，MCBD 0 60 ,3,3BBCBMMC= 在中，MECD 12 30 ,3 4 CEhMEhMC= ，即 12 分 3030 3 1 1616 cos 53030 2 44 MEC +- = 1 cos 5 = 法二：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，CCAxCBy 建立空间直角坐标系因为 ，Cxyz30CBA=2PAAB= 所以 ，. 延长交于点.2cos303CB =1AC =MOCBD 因为 ，所以 .OMAC 1313 , 1, 2222 MDCB MDCDCB=+= D z y xM E B O C A P 所以 ，.(1,0,2)P(0,0,0)C(0, 3,0)B 33 ( ,0) 22 M 所以 ，. 8 分(1,0,2)CP = (0, 3,0)CB = 设平面的法向量.因为 PCB( , , )= x y zm 0, 0. CP CB = = m m 所以 即 ( , , ) (1,0,2)0, ( , , ) (0, 3,0)0, x y z x y z = = 20, 30. xz y += = 令，则.1z =2,0 xy= -= 所以 . 同理可求平面的一个法向量 n. 10 分( 2,0,1)= -mPMB 1, 3,1 所以 .所以 . 12 分 1 cos, 5 m n m n mn 1 cos 5 = (19) 解：（）由已知条件得 2 1 2 1 337 (1) 4 4416 Cpp 即31p ，则 1 3 p 答：的值为 6 分p 1 3 （）的可能取值为0,1,2,3 ， 3 3 23 (0) 4 4 38 p 7 (1) 16 p ， 10 分 1 2 1 1 21 3 11 (2) 4 4 34 4 36 pC 1 1 11 (3) 4 4 348 p 0123 P 3 8 7 16 1 6 1 48 12 分 37115 0123 8166486 E (20) 解()由已知得在上恒成立，即， / 2 11 ( )0 sin gx xx 1,) 2 sin1 0 sin x x (0, ) 故在上恒成立，sin0sin10 x 1,) 只需即，由知 6 分sin1 10 sin1sin1(0, ) 2 （）令， 2 ( )( )( )2ln me F xf xg xmxx x 当时，由有，且，0m 1, xe0 m mx x 2 2ln0 e x x 此时不存在，使得成立 8 分 0 1, xe 00 ()()f xg x 当时，0m 2 / 2 2222 ( ) memxxme Fxm xxx ，又1, xe220ex 2 0mxm 在上恒成立，故在在上单调递增， /( ) 0Fx 1, e( )F x1, e max ( )( )4 m F xF eme e 令，则，故所求的的取值范围是 12 分40 m me e 2 4 1 e m e m 2 4 (,) 1 e e (21) 解()由题意知,圆心在线段的中垂线上，抛物线的准线方程为，所以(0,) 2 p FQOF 4 p y 2 p y ,得,抛物线方程为. 3 分. 3 1 4 p 1pyx2 2 代得,，设，2x 1y ( 2,1)M 1 ( , ) 4 Q a 22 19 ,(2) 1616 QFQMaa ， 5 2 8 a 27 32 QF 圆的方程为 6 分Q 22 5 2127 ()() 8432 xy ().设,由，整理得,. ),(),( 2211 yxByxA 4 1 2 2 kxy yx 2 2410 xkx 2 1680k . 8 分4)(1 ( 21 2 21 2 2 xxxxkAB)24)(1 ( 22 kk 设,由由，整理得, 3344 (,),(,)D xyE xy 22 5 2127 ()() 8432 1 4 xy ykx 22 5 21 (1)0 416 kxx . 10 分 2 2 2 2 2222 27 272251 84 (1) (1)8(1)8(1)4 k k DEk kkk 于是,令 22 22 2 251 (1)(42) 8(1)4 ABDEkk k 2 15 1,2,5 24 tkkt 则, 22 2 251251 (42)42 8484 ABDEtttt tt 5 5 4 t 设, 2 251 ( )42 84 f ttt t 2 8 25 28)( t ttg 5 5 4 t 当时, 在上递增5