1、因式分解1(提套)

第1讲 因式分解(1)【竞赛导航】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。本讲主要涉及用提公因式法和公式法分解因式. 一、提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。二、把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式： a2 2ab+b2=(ab)2 推广公式：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2 立方和、立方差公式:a3b3=(ab)( a2 ab+b2) 和（差）的立方公式：补充：欧拉公式： a3+b3+c3= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) +3abc +3abc 特别地：（1）当a+b+c=0时，有a3+b3+c3=3abc （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。【典例解析】 例1. 把下列各式因式分解 （1）；（2） 例2. 计算： 例3. 不解方程组，求代数式的值。 例4. 证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。例5. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。例6. 设x为正整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。例7. 分解因式= . 例8. 已知多项式有一个因式是，求的值。 例9. 已知是的三条边，且满足，试判断的形状。 例10. 两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 例11. 已知， 求证：【沙场练兵】1、因式分解（1）= .（2）= . （3）= .（4）= .（5） .（6）= .（7）= .2、计算：= .3. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知x、y都是正整数，且，求x、y.5. 证明：能被45整除.6已知：， 求的值.7若，求的值.8已知：，求的值.【冲刺金牌】1、因式分解：（1）（n为正整数）= .（2）= .（3）= .2. 化简：3. 若是三角形的三条边，求证：4. 已知：，求的值。5. 已知是不全相等的实数，且，试求 （1）的值； （2）的值.6求证：是6的倍数.（其中n为整数）（法一：若是6的倍数，则-6也是6的倍数；法二：=）.7已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小.8已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值.两边乘abca2(c+b)+b2(a+c)+c2(a+b)+3abc=0ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0(a+b+c)(ac+bc+ab)=0又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1+2(ab+bc+ca)所以(a+b+c)不可能等于0 则ab+bc+ac=0所以a+b+c=1继续追问：a2(c+b)+b2(a+c)+c2(a+b)+3abc=0这一步到 这一步 怎么来的ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0继续追问：a+b+c=1都行？1/b+1/c中就缺a/a就可因式分解了 同理 得：a(1/b+1/c)+a/a+b(1/a+1/c)+b/b+c(1/a+1/b)+c/c=0 a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0 这就好办了 a+b+c=0或 1/a+1/b+1/c=0 通分 (ab+bc+ac)/abc=0 因为abc不等于0 则ab+bc+ac=0 (a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1 a+b+c=1,-1 所以 a+b+c=0,+1,-1a(1/c+1/b)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=3两边乘abca2(c+b)+b2(a+c)+c2(a+b)+3abc=0ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0(a+b