人大四版微积分第二章极限与连续.ppt

1,第二章极限与连续,2.1数列的极限,2.2函数的极限,2.3变量的极限,2.4无穷大量与无穷小量,2.5极限的运算法则,2.6两个重要的极限,2.7利用等价无穷小量代换求极限,2.8函数的连续性,2,1.古希腊时期Zeno-Achilles与乌龟赛跑,朴素极限思想的萌芽：古希腊雅典时期,严格极限概念的建立：18世纪下半叶,4.魏晋时期刘徽-割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,3.古希腊时期Antiphon-化圆为方,2.春秋战国时期惠施-一尺之锤，日取其半，万世不竭,法-dAlembert、瑞士-Euler、,法-Cauchy、德-Weierstrass,3,一、数列,定义.按照一定的顺序排成的无穷多个数,称为数列.记为.其中为数列的一般项或通项.,注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,(2).数列是整标函数,2.1数列的极限,第二章,4,数列的单调性和有界性,有界数列：否则无界单调数列单调增加单调不减单调减少单调不增,5,Eg.,都是数列.,6,二.数列的极限,定义1（极限的定性描述）：当n无限增大时,若数列xn的一般项xn无限接近于一个确定的常数a,则常数a称数列xn的极限,或称数列xn收敛于a,记为,当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.习惯上也说,7,定义2（极限的定量描述）：,若数列,及常数a有下列关系:,当nN时,总有,记作,此时也称数列收敛,否则称数列发散.,几何解释:,即,或,则称该数列,的极限为a,8,几点注意,9,10,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证:,因此,取,则当,时,就有,故,由定义来证，,当,时,就有,当,时,有,当,时,有,当,时,有,对问题进行等价的转化,11,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证2:,欲使,只要,因此,取,则当,时,就有,故,12,例2.利用极限定义证明,13,第二章,2.2函数的极限,函数极限问题是研究当自变量,趋向于,的变化趋势,或趋向于无穷大时，函数,自变量变化过程有六种形式:,趋向于一点,趋向于无穷,14,(一)自变量x绝对值无限增大时的情形,要使,亦即当x进去区间,取就可以了，,即,15,定义(定量)设函数,大于某一正数时有定义,若,时的极限,则称常数A为函数,直线y=A为曲线,的水平渐近线,记作,16,直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,时的极限,记作,则称A为函数,如果在,的过程中,对应函数值,无限趋近于确定值A.,几何意义:,17,比如，,就不存在极限。,18,例1.用定义证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,19,例2.用定义证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,即,同理，可用定义证明,20,(二)自变量趋于有限值时函数的极限,时函数极限的定义,仿数列极限定义,(不论多么小)，,有：,描述,任意地接近,表示,接近,的过程,21,定义.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,若,记作,22,注意,23,例3.证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,24,例4.利用定义证明,25,(三)左极限和右极限,26,左极限:,当,时,有,类似地，定义右极限！,27,右极限:,当,时,有,定理1.,想一想,28,例5.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:,因为,显然,所以,不存在.,利用定理1.,29,由定理1可知，如果左极限和右极限至少有一个不存在，或者存在但不相等，则函数的极限不存在.定理1常用于证明分段函数在分段点处的极限不存在.,解:,因为,显然,所以,利用定理1.,例6.研究当时，的极限。,30,(四)函数极限的性质,31,局部保号定理,定理2.若,且A0,则存在,(A0时,取正数,则在对应的邻域,上,(0为例,33,定理3.若在,的某去心邻域内,且,则,证:用反证法.,则由定理2,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),存在,假设A0,总有,则称函数,当,时为无穷大,(正数X),记作,总存在,40,又如,竖直渐近线。,41,比如，,渐近线,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,注,42,(二)无穷小量,定义.若,时,函数,则称函数,为,时的无穷小.,极限为零的变量,称为无穷小.,1、无穷小量的概念,43,当,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,说明:,2.零是可以作为无穷小的唯一的数!,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,44,说明:,除0以外任何很小的常数都不是无穷小!,事实上,当,时,显然C只能是0!,C,C,时,函数,(或),则称函数,为,若,(或),则,时的无穷小.,45,其中(x)为,时的无穷小量.,定理.(无穷小与函数极限的关系),意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,46,证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,47,2、无穷小量的性质,性质1.有限个无穷小的代数和还是无穷小.,由此可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,以三个无穷小的和为例！,设,无穷小,无穷小,只需证明，两个无穷小的和，仍为无穷小。,分析：,48,时,有,证:,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,来证,49,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,性质2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,即,50,证:,当,时,有,取,则当,时,就有,故,51,推论2.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,推论1.有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,都是无穷小,52,例1.求,解:,利用性质2可知,说明:y=0是,的渐近线.,注意，有重要公式：,函数极限与自变量的变化过程有关。,53,(三)无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.,性质3.,说明:,54,(四)无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于0的速度是多样的.,观察各极限,55,定义.,若,则称是比高阶的无穷小,若,若,若,或,记作,则称是比低阶的无穷小;,则称是的同阶无穷小;,则称是的等价无穷小,记作,例如,当,时,56,例2.证明:当,时,证:,57,2.5极限的运算法则,则有,定理.若,(i),(ii),(iii),提示:利用极限与无穷小关系定理.,第二章,58,推论3.,(C为常数),推论4.,(n为正整数),(i)设n次多项式,则,(ii)设,均为多项式，且,则,59,例1-10.求下列函数极限,60,一般有如下结果：,为非负常数),61,第二章,2.6两个重要的极限,(一)极限存在准则,夹逼准则;单调有界准则.,1.夹逼准则(准则1-数列),直观:,62,当,时,有,想证,证明直观:,nN2时,nN1时,nmax(N1,N2)时,63,证:,由条件(2),当,时,当,时,取,则当,时,有,由条件(1),即,故,64,夹逼准则(准则1-变量),直观:,例1.证明,证明：,65,例2.证明,证明：,66,67,68,69,例3.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,70,2.单调有界数列必有极限(准则2),(证明略),71,例.设,证明数列,极限存在.,证:利用二项式公式,有,72,大,大,正,又,比较可知,73,根据准则2可知数列,记此极限为e,e为无理数,其值为,即,有极限.,又,74,圆扇形AOB的面积,(二)两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,故有,75,例4.求,解:,例5.求,解:令,则,因此,原式,76,例6.求,解:原式=,说明:计算中注意利用,77,2.,一般地，,78,例.求,解:令,则,说明：若利用,则,原式,79,例7.求,解:,例8.求,解:,80,作业：习题二P74,81,2.7利用等价无穷小量代换求极限,定理.设,且,存在,则,证:,例如,第二章,等价无穷小替换定理,82,设对同一变化过程,为无穷小,说明:,无穷小性质,(1)和差取大规则:,由等价,得简化某些极限运算的下述规则.,若=o(),例如,(2)因式代替规则:,界,则,例如,83,结合等价无穷小的定义有下列结论:,84,例1.求,解:,原式,85,例2.求,解:,原式,86,例3.求,解:,原式,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,87,例4.证明,证明:,88,第二章,2.8函数的连续性,可见,函数,在点,（一）、函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,89,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,90,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,例1,在,上连续.,(有理整函数),例2有理分式函数,在其定义域内连续,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,91,例3.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,92,证明：,下证：,为使,只要,于是令,则,93,例5,解,右连续但不左连续,94,在,在,（二）、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,95,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,96,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,97,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,98,例6,解,99,（三）、连续函数的运算法则,极限性质,容易把极限性质转化为连续函数性质,如,100,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,在其定义域内连续,例如,101,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,定义区间是指包含在定义域内的区间.,102,例7.讨论,的连续性。,解:,103,104,(四)利用函数连续性求函数极限,1.利用初等函数连续性求函数极限,例8.求,解:初等函数,在,例9求,解:,105,例11.求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,2.利用连续函数符号与极限符号可交换,例10.求,106,例12.求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,107,例13.求,解:,原式,说明:若,则有,108,（五）在闭区间上连续函数的性质,定义.设函数,则称,如果,定义在D上，,有,在D上有最大值，,并称,在D上的最大值,为,称,在D上的最大值点,为,小,小,小,例如：,在,内最大值为1，最小值为1,在,内最大值为2，最小值为0,1.最值定理,109,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,定理.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,110,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,111,推论.,由定理1可知有,证:设,上有界.,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,112,定理.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),2、介值定理,113,定理.(介值定理),设,且,则对A与B之间的任一数C,一点,证:作辅助函数,