数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲-一元二次方程的整数解

第五讲 一元二次方程的整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设=)，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关【例题求解】【例1】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个（全国初中数学联赛题）思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论【例2】 已知、都是整数，方程的相异两根都是质数，则的值为( ) （太原市竞赛题） A100 B400 C700 D1000思路点拨 由韦达定理、的关系式，结合整数性质求出、的值 【例3】 试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根 （全国初中数学联赛题）思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论当时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根【例4】 当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由 （第十七届江苏省竞赛题）思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数设=(为整数)解不定方程，讨论的存在性注：一元二次方程 (a0)而言，方程的根为整数必为有理数，而=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件【例5】 求使方程有整数根的所有正整数和。 （俄罗斯竞赛题）学力训练1已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有 个。2方程恰有两个正整数根，则的值是 。 （北京市竞赛题）3关于的方程（为正整数）有整数根时，则的值可以取 个。 （第18届江苏省竞赛题）4若整数 使方程的根为非零整数，则这样的整数的个数为 个。 （第20届江苏省竞赛题） 5设rn为整数，且4m40，方程有两个整数根，求m的值及方程的根 （山西省竞赛题）6已知整数，且方程有两个不相等的正整数根，求的值。 （荆州市竞赛题）7求使关于的方程的根都是整数的值 （江苏省竞赛题）能力拓展8已知方程的根都是整数，求整数的值。 （全国初中数学联赛题）9设关于的二次方程的两根都是整数，试求满足条件的所有实数的值 （全国初中数学联赛题）10边长为整数的直角三角形，若其两直角边是方程的两根，求的值并确定直角三角形三边之长。 （江西省竞赛题） 11已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （全国初中数学竞赛题）综合创新12已知，为整