数学培优竞赛新方法(九年级)-第11讲-代数最值

第11讲 代数最值知识纵横在生活实践中，人们经常面对带有“最字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;1. 运用配方法求最值2. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值3. 建立函数模型求最值4. 利用基本不等式或不等式分析法求最值例题求解【例1】实数x、y满足，则的最大值是 （江苏省竞赛题）思路点拨 解题的关键是由可得x取值的隐含制约。【例2】分式的最小值为（ ）A、 -5 B、-3 C、5 D、3（太原市竞赛题）思路点拨 原式=。【例3】（1）设a、b为实数，求代数式的最小值。（全国初中数学联赛题）（2） 实数x、y、z满足，求z的最大值。（全国初中数学联赛题）思路点拨 对于（1），引入参数设，将等式整理成关于a的二次方程，利用判别式求最小值，对于（2），运用韦达定理构造方程。【例4】（1）已知的最大值为a，最小值为b，则的值。（2011年数学周报杯全国初中数学竞赛题）（2） 求使取得最小值的实数x的值。（全国初中数学竞赛题）思路点拨 解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。【例5】已知，对于满足条件，的一切实数对（x，y），不等式恒成立，当乘积ab取最小值时，求a、b的值。（全国初中数学联赛题）分析 将y=1-x代入不等式得：，此不等式对于满足条件的实数对（x，y）恒成立，于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。解 由，知。 令x=0，y=1，得；令x=1，y=0，得，从而，。 故二次函数的图象的开口向上，且顶点的横坐标在0 和1之间。 又原不等式对于满足条件的一切实数x恒成立。 所以，即 由 得 或离散最值【例6】已知a、b、c为正整数，且，求c的最小值。（全国初中数学竞赛题）分析与解 若取，则，由小到大考察b，使为完全平方数，当b=8时，则c=6，从而a=28，下表说明c没有比6更小的正整数解。显然，表中的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.2161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113思路点拨 从入手。学力练习基础夯实1、 （1）设x为正实数，则函数的最小值是 。 （2）函数的最大值是 2、 若实数x、y满足方程，则xy的最大值为 （第19届香港中学竞赛题）3、 已知实数a、b、c满足，则a的最大值为 （第17届江苏省竞赛题）4、 已知x、y、z为三个非负实数，且满足，若，则s的最大值与最小值的和为（ ）A、5 B、 C、 D、（天津市选拔赛试题）5、 若，则可取得的最小值为（ ）A、3 B、 C、 D、6、 正实数x、y满足，那么的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、 E、 （黄冈市竞赛题）7、 （1）求函数在时的最值。 （2）求的最大值。8、 求的最小值。9、 在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别 交于点A、B，且使得.（1） 用b表示；（2）求面积的最小值。 （浙江竞赛题）能力拓展10、 设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为 11、 若抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C，则的面积最小值为 12、 已知实数a、b满足，且，则t的最大值为 最小值为 （“TI杯”全国初中数学竞赛题） 13、 设x、y、z为正数，且 ，则的最小值是 （“宇振杯”上海市竞赛题）14、 已知，且，则k的最小整数值是 （海南省竞赛题）15、 已知，那么y的最大值和最小值的差为 （武汉市竞赛题）16、 已知，都是正整数，且，若的最大值为A，最小值为B，则A+B的值为 （全国初中数学竞赛题）17、 设实数a、b满足，求的最小值。（“数学周报杯”全国初中数学竞赛题）18、 已知a、b、c是正整数，且二次函数的图象与x轴有两个不同的交点A、B，若点A、B到原点的距离都小于1，求的最小值。（天津市竞赛题）综合创新19、 设，是整数，并且满足