第4章+频域分析法(新).ppt

本章主要内容,一、频率特性的基本概念,二、典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法,三、稳定性的频域分析方法,重点系统开环博德图的绘制。难点系统开环尼奎斯特图的绘制、幅值穿越频率和相位穿越频率的求取。,第四章：控制系统的频域分析,高阶系统的分析难以进行；,难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；,当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。,引言：时域分析的优点和局限,优点,利用微分方程求解系统输出随时间变化的情况比较直观、准确、易于理解。,缺点,易于实验分析；系统中存在难以用数学模型描述的某些元、部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，进而对系统有效分析。,可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）,频域分析法（图解分析方法）,频域分析法是进行系统稳定性分析、品质分析、系统设计的一种有效方法。,根据开环频率特性来研究闭环系统的性能；,无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能，并指明改进性能的方向；,一、频率响应的概念,设系统的传递函数：G(s),系统的稳态输出分量可写成：,t,稳定系统,xi=Aisint,xo=Ao()sint+(),4.1频率响应和频率特性,当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。即：稳定的系统对正弦输入的稳态响应，称为频率响应。,频率响应的定义,系统输出为：,传递函数,频率响应的特点,稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数；,相位比输入相位滞后一个角度。,稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数，但幅值不同，相位不同。,稳态响应：,线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率从零变化到无穷时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性。,二、频率特性的定义,幅值比,频率特性定义:,相位差,幅频特性,相频特性,幅频特性、相频特性统称为频率特性,对于上例，,系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性，它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。,系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性，它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的超前、迟后特性。,幅频特性,相频特性,2.直接从传递函数求取,1.根据已知系统的微分方程，输入正弦信号，求其稳态解，取输出稳态分量的复数之比（幅值比、相位差）。,三、频率特性的求取方法,3.实验法,频率特性的求取举例,对于正弦输入xi(t)=Aisint，根据频率特性的定义：,解：求频率特性,例2：已知系统的传递函数，求系统的稳态输出。,求稳态输出,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。,尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。,应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱数。因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。,几点说明:,以RC滤波网络为例：,频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；,表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统输出幅值衰减近似为0，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。控制系统具有低通滤波器特性。,四、频率特性的图解方法介绍,频率特性的主要图解方法,极坐标图Nyquist图,对数坐标图Bode图,Nichols图,1.奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图）,U():实频特性,在复平面上，随（0）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。,V():虚频特性,2.波德(Bode)图（对数频率特性图）,（1）对数幅频特性图,横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率单位rad/s或Hz,纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20倍，即：,（2）对数相频特性图,横坐标：同上,在实际工程中,计算不方便，故取：,纵坐标：线性分度，频率特性的相角,2.波德Bode图的坐标系,注：在实际标注时，横坐标以标注，其意义还是代表以10为底的对数分度表示的角频率。,频率变化十倍称为一个十倍频程，对应横坐标的间隔距离为一个单位记为decade或简写为dec,一、比例环节,4.2典型环节的频率特性图,比例环节的频率特性图：,Nyquist图,A()=K,()=00,L()=20lgK,二、惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性：()=-arctgT,幅频特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：()=-arctgT,惯性环节的Nyquist图,NyquistDiagram,惯性环节的Bode图,对数幅频特性：,对数相频特性：,惯性环节的Bode图横坐标变换1,转折频率,惯性环节的Bode图横坐标变换2,转折频率,渐近线误差,-4,-3,-2,-1,0,0.1,1,10,惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线,dB,三、一阶微分环节,对数相频特性：()=arctg,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=arctg,三、一阶微分环节,0,Re,Im,一阶微分环节的Nyquist图,一阶微分环节的Bode图,注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数(设：=T)，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。,三、一阶微分环节,惯性环节幅频特性：,一阶微分环节幅频特性：,惯性环节相频特性：,()=-arctgT,一阶微分环节相频特性：,()=arctg,0,10,20,30,90,45,0,L()/(dB),(),BodeDiagram,转折频率,实际幅频特性,渐近线,20dB/dec,一阶微分环节的Bode图,四、积分环节,Nyquist图,0,Re,Im,积分环节的Bode图,-40,-20,0,20,0.1,1,10,100,L()/(dB),(),BodeDiagram,20dB/dec,四、积分环节,五、振荡环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,幅频特性：,相频特性：,NyquistDiagram,=0.1,=0.2,-3,-2,-1,0,1,2,3,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,=0.3,1.二阶振荡环节的Nyquist图,幅频特性：,相频特性：,NyquistDiagram,=0.1,=0.2,-3,-2,-1,0,1,2,3,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,=0.3,1.二阶振荡环节的Nyquist图,2.振荡环节的Bode图,对数幅频特性,振荡环节波德Bode图,对数相频特性,对数幅频特性,对数幅频特性的实际Bode图,五振荡环节,-180,-135,-90,-45,0,0.1,1,10,/n,()/(deg),=0.1=0.2=0.3,-40,-30,-20,-10,0,10,20,L()/(dB),-40dB/dec,=0.1=0.2,=0.3,BodeDiagram,转折频率,=0.5,=0.5,振荡环节在不同值时的修正曲线,-8,-4,0,4,8,12,16,20,0.1,1,10,=0.05=0.10=0.15=0.20=0.25,=0.30=0.35=0.40,=0.80=0.90=1.00,=0.50=0.60=0.707,/n,Error(dB),由图可见，当较小时，由于在=n附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，越小，误差越大。,当0.381时，N=1/2=p/2，系统闭环稳定；当k0的频率段内。,正穿越N+：相位增大；负穿越N-：相位减小。,在开环对数坐标图上，在所有L()0的频段内，相频特性曲线穿越180线的次数正、负穿越次数之差N+N-=P/2，则闭环系统稳定。P为开环右极点数。,（1）开环稳定，即P=0时，幅值交界频率小于相位交界频率，则系统闭环稳定。,2.Bode判据,（1）开环稳定，若幅值交界频率=相位交界频率，则系统闭环临界稳定。,Bode判据,0,Re,Im,（1）开环稳定，若幅值交界频率大于相位交界频率，则系统闭环不稳定。,Bode判据,0,Re,Im,（2）开环不稳定，即P0时，N+N-=P/2，则系统稳定。,图中，N+=0，N-=2，所以，N+N-P/2，系统闭环不稳定。,图中，N+=2，N-=1，所以，N+N-=2-1=P/2，系统闭环稳定。,+,+,在系统设计中，不仅要求系统稳定，而且还希望系统具备适当的的稳定性储备即裕量。,0,Re,Im,根据最小相位系统的开环传递函数的频率特性与(-1，j0)点的位置情况，系统是否稳定也分为：,六、稳定性裕量,对于开环稳定的系统：,因此，用曲线接近(-1，j0)点的程度来衡量系统稳定裕量的大小相对稳定性。,习惯上用相位裕量（度）和幅值裕量（度）来表征开环幅相曲线接近临界点的程度，作为系统稳定程度的度量。,六、稳定性裕量,1.相位裕量（度）,在c上，使系统达到不稳定的边缘（临界稳定）所需要附加的滞后角度(相位滞后量），称为相位裕量。,相位裕量为正，系统稳定。,相位裕量为负，系统不稳定。,0,Re,Im,在相位交界频率上，使开环幅值达到1所需放大的倍数。,2.幅值裕量（度）,0,Im,0,3.Bode图上的幅值裕量和相位裕量,已知系统的开环传递函数如下：,1.写出系统的组成。2.绘制系统的开环Bode图，并标明各种频率和斜率。3.分析系统的稳定性。,解：,1.系统组成,比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节,例：,系统开环包括了五个典型环节，分别为：,转折频率：4=0.5,转折频率：5=10,2.绘制Bode图,几点说明：,（1）控制系统的幅值裕量和相位裕量，是极坐标图对(-1，j0)点靠近程度的度量。故可用作设计准则。,（2）对于最小相位系统，只有幅值裕量和相位裕量都是正值时，系统才是稳定的。,（3）为了得到满意的性能，,系统的动态性能，在频域中分析时，可以用频域指标来评价。系统动态性能的频域指标分为闭环频域性能指标和开环频域性能指标。,闭环系统的幅频特性,4.4系统动态性能的频域指标,一、闭环频域性能指标与时域指标的关系,1.闭环频域特征量,零频幅值,表示频率接近于0时，系统输出的幅值与输入幅值之比。零频值越接近1，系统的稳态误差越小。,复现频率,闭环幅频特性值与零频值之差第一次达到的频率值。,闭环系统的幅频特性,截止频率,2.闭环频域主要性能指标,二阶系统可以求出频域和时域指标之间严格的数学关系：,3.闭环频域指标与时域指标的关系,阻尼比是联系两者的桥梁,Mp和Mr都随着阻尼比的增大而减小。因而，随着Mr增加，相应的Mp也增大其物理意义：当闭环幅频特性有谐振峰时，输入信号频谱在=r附近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振荡。,当一定时，截止频率正比于系统无阻尼自然频率，因此无阻尼自然频率愈大，截止频率也就愈大，即带宽愈大，响应愈快。但带宽过大，系统抗高频干扰的性能下降，所以带宽也不宜过大。,（2）截止频率,一般来说，如果系统闭环谐振峰值Mr愈高，时域响应的振荡性愈强；如果系统的带宽愈宽，即截止频率愈大，则时域响应的快速性愈好，系统复现输入信号的能力也愈强。,求开环频率特性比求闭环频率特性方便，而且在最小相位系统中，幅频特性和相频特性之间有唯一确定的对应关系，因此工程上常用开环对数频率特性来分析和设计系统。,二、开环频域性能指标与时域指标的关系,1.开环频域性能指标,开环截止频率（幅值交界频率）幅值裕量（度）相位裕量（度）,与系统无阻尼自然频率成正比，描述响应快速性。,相位裕度（量）,幅值裕度（量）,描述系统相对稳定性。,2.开环频域性能指标与时域性能指标的关系,通常分为三个频段来加以分析,中频段通常是指折线对数幅频特性c前后转折频率之间的一段。有人认为是L()从+30dB降到-15dB的一段。,三、频域分析的特点,时域响应的动态指标主要由中频段的形状决定。,低频段一般是指折线对数幅频特性在第一个转折频率以前的频段。系统的稳态指标主要是由这个频段幅频特性的高度和斜率所决定的。,所以对时域响应的快速性要求可以反映在对开环截止频率c大小的要求上。,当斜率为-40dB/dec时，相位裕量的值趋近0，系统趋于临界稳定状态，甚至系统不稳。为了使系统稳定，且有足够的稳定裕量，一般希望中频段的斜率为-20dB/dec，且有足够的宽度。,频域分析的特点,系统的系相位裕量主要取决于中频段即开环截止频率c处的斜率。,高频段是指中频段以后的频段,高频段的斜率与系统抗干扰性能有关。,四、最优模型,1.二阶系统的最优模型,2.三阶系统的最优模型,稳定的系统对正弦输入的稳态响应频率响应。,系统频率特性是系统在频域中的数学模型，能够反映系统动态过程的性能，它和传递函数有着直接而重要的关系。,系统频率特性由幅频特性和相频特性两部分组成。,1.频率特性的基本概念,小结,系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性；系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入领率的变化而变化的特性称为相频特性。,稳定系统的频率特性可以通过实验测定。,（1）Nyquist（奈奎斯特）