数学建模课程设计

数学建模课程设计题目数学建模课程设计题目一、一个游击战问题战争作为人性的负面总是伴着社会的发展，它是一个复杂的问题，涉及兵员、武器、地理、士气、指挥艺术，后勤、气候等等的综合作用。这样的模型一般是很难建立的。但在一定合理假设的条件下，还是可以近似建模的。 比如说解放区的抗日战争，日军凭借人数、武器和资源等的优势，常常对人民武装进行打击、扫荡。而人民军他总是凭借自己的地利优势，群众基础、灵活机动等来抗击敌人的打击，从而牵制和消灭敌人。假设有一次，由于叛徒的出卖。日军获知一支人数为 400人的游击队在某一个面积为60平方公里的山区活动。于是派出了人数为900人的部队分三路进行包围打击。游击队在敌人进攻前也得到了敌人要来的情报。于是研究组织了应敌之策。 假设你是一个指挥员或作战参谋，请你分析建立一个模型，来预测这次战斗，我方人员能否摆脱敌人的包围，设计一个方案使我方能有效地打击敌人。【设计任务】 建立微分方程模型（参考战争预测等微分方程模型）； 求解模型的解析解或者数值解（如果可行的化，求解析解可以自己推导或者借助 matlab 符号求解函数；求数值解可以通过数值分析算法进行或者调用 mtlab 函数 ode 系列函数）； 画出图形进行直观的分析和展示； 写出论文。二、广告策略对于独家销售商商品广告而言，我们的假定商品销售与广告之间满足如下条件：1、 商品的销售速度与广告有关，但是增加有一定的限度，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值，无论再用何种形式做广告，销售速度减慢。2、 自然衰退是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减少。3、 令 是 时刻的销售速度， 为 时刻广告水平（以费用表示）； 为销售的饱和水平，即市场对于商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限； 为衰退因子，即广告随时间增长而自然衰退的速度， 为常数。试问广告与销售之间的内在联系如何？如何评价广告效果？时间123456789101112销量3005001500750600100015003500250040004500广告费500750250250750700100200150045004000600要求：1、 解决问题描述中所提出的问题。2、 如果假定广告策略公式是一个具体的简单函数关系式，如何得到广告策略公式。三、减肥问题： 假定某人每天的饮食可产生A焦耳热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为B焦耳，用于锻炼所消耗的热量与体重成正比（可设为C焦耳千克）为简单计，假定增加(或减少)体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为D 焦耳千克讨论节制饮食、加强锻炼，调节新陈代谢对体重的影响。要求：1）建立反映人的体重随时间变化规律的数学模型；2） 求解模型，讨论节制饮食、加强体育锻炼和调节新陈代谢对体重的影响；3）.进一步讨论限时减肥（例如举重运动员参赛前体重要降到规定的数值)或限时增肥(例如养猪场要在一定时间内使猪的重量达到一定值)问题； 4）按要求写出课程设计报告。四、最优生产周期问题： 设某工厂既是生产型的又是销售型的，它的任务是把进来的原料加工成产品。再销售出去。为保证生产就必须库存一定数量的原料，为保证销售就必须库存一定数量的产品。试分别就下列情形讨论如何确定一个最优的生产周期T，使得在单位时间内生产的总费用W最少？(1)仓库只存放产品不存放原料。在这种情况F，开始一段时间内工厂边生产边销售到某时刻 只销售不生产，直至库存量Q减少为0；(2)仓库既存放产品，又存放原料，并且一个周期生产所需的原料在开始生产时就一次备足；(3)仓库既存放产品，又存放原料并且开始生产时就一次备足 个周期生产所需的原料。要求：1）建立解决本问题的数学模型；2） 求解模型，回答所提出的问题；3）.进一步讨论本模型的相关应用和推广； 4）按要求写出课程设计报告。五、高考志愿选择策略一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表 相关权数 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁校誉 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6 录取风险 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3 年奖学金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7 就业前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5生活环境 离家近 0.061 0.2 0.4 1 0.8 生活费用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8 气候环境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6 学习环境 专业兴趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8 师资水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65可持续发展 硕士点 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8 博士点 0.030 0.75 0.7 0.6 0.5经过建模计算，给出志愿排序的合理决策。六、动物繁殖问题分析如下问题：1、某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组。05岁；第二组，610岁；第三组，1115岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头。问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？2、建立动物各年龄段数量预测模型。利用所建模型，用数学软件（或用高级语言编程）计算15年后各年龄段动物数量。研究本问题中当时间无限长时各年龄段动物数量比例的极限情况。3、将此模型推广到研究关于年龄分布的人口预测模型。4、按要求写出课程设计报告。七、投资的收益与风险市场上有n种资产（如股票、债卷等） 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用于作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 的平均收益率为 ，并预测出购买 的风险损失率为 .考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的 中最大的一个风险来度量。购买 要付交易费，费率为 ，并且当购买额不超过给定值 时，交易费按购买 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率 且既无交易费有无风险。已知n=4时的相关数据如下282.51103211.52198235.54.552252.66.540要求:1、给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。2、按要求写出课程设计报告。八. 人类的演化 观察地球生物发展的大历史，似乎看得出来，有些原始生物演化速度很慢，几千万年来表面都没有改变，至今仍然存在，例如银杏树，腔棘魚、鱟等生物，称为活化石。据此推论越早期的生物若是演化的越慢，其生存的年代越长。假设平均而言，随生物种类的不同，一种生物会以每百万年累积0.5-1000个致死基因，当致死基因累积达3000个以上，其灭绝的概率会超过0.75，当致死基因累积达5000个以上，其灭绝的概率会超过0.95。据此而言，人类（智人，Homo sapiens约2-3万年前出现，是很晚才出现的物种）未来的演化速度如何？何时该灭绝？请建立一个数学模型来讨论上述问题。九、校园巴士的运行方案由于校园巴士存在等客问题，使得校内黑巴载人现象严重，影响校园内的交通。为了彻底铲除校内黑巴，只靠保卫处严管远远不够，需从运营效益方面限制黑巴的收入，从而使其自行退出。假设目前有校内巴士12台，每台车可容纳15人；黑巴小面包10台（可容35人），大面包3台（可容69人），分布于大门口、教学区和荟园公寓处。如果在高峰时（早晨7：008：00；中午12：0012：30；晚5：006：00）校内巴士等待的时间为3分钟，其它时间段校内巴士等待的时间为10-20分钟。请计算全天各类车的总的运客量，并根据这个运客量安排校内巴士的数量、等车间隔时间，以使每辆黑巴的收入低于20元，可假设校园巴士运行一趟约七公里，车辆的平均速度为30公里/小时。十、飞越北极6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下： 7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)；A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度);A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)；A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)；A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：（1） 设地球是半径为6371千米的球体；（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。十一、道路改造项目中碎石运输的设计在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。河与AB的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。此地区没有其它可以借用的道路。为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。十二、超额录取留学生的策略众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。当前的情况为：学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。签证被拒的比例在上升。所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。问题：（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？十三、最佳捕鱼方案一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。 据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在5001000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和， 捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？请你建立相关模型求解，给出最佳答案。十四、电站建设问题某地区在制定十年电力发展规划时遇到这样一个问题：根据电力需求预测得知，该地区在十年后发电装机容量需要增加180万千瓦，那时的年发电量需要增加100亿度。根据调查和讨论，电力规划的备选技术方案有三个：扩建原有的火电站，但最多只能再安装五台10万千瓦的发电机组；新建水电站，但最多只能安装四台25万千瓦的发电机组；或再新建一个火电站，最多只能安装四台30万千瓦的发电机组。通过调研和计算，获得有关的参数如表1所示。表中负荷因子为全年满功率运行天数与全年总天数之比。根据该地实际调查原有火电站平均全年满功率运行天数为241天，水电站和新建的火电站应分别为146天和255天，而全年365天，故折算得表中数据。表中资本回收因子是由如下数据所确定的，火电站的回收年限取15年，年利息率为006；水电站的回收年限取30年，年利息率为004，即得表中所列数值。请在满足上述技术要求的前提下，选取经济效果最优的建设方案。1原来的火电站应如何扩建？2新建的水电站应如何确定单机容量为25万千瓦的发电机组的数量？3新建的火力发电站应如何确定单机容量为30万千瓦的发电机组的数量？表1 :备选技术方案参数表工程投资 单机容量（万千瓦） 允许装机台数 资本回收因子 年运行成本（百万元/亿度） 负荷因子前期工程投资（百万元） 单机设备投资（百万元） 1 扩建旧火电站 21 10 20 5 0103 411 0662 新建水电站 504 70 25 4 00578 228 043 新建火电站 240 65 30 4 0103 365 07十五、草原鼠患问题在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草2540公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，