数学分析考试大纲

数学分析考试大纲一、 课程性质和目的数学分析是数学系的一门重要基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元和多元微积分、级数论、反常积分等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如微分方程、实变函数、概率论与数理统计及有关的泛函分析、微分几何等限选课程及普通物理学等）提供一些所需的基础理论和知识，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解数学分析的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。二、课程内容充分条件，必要条件，充要条件，绝对值，不等式，函数，单调函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，初等函数，数列极限，数列极限的性质，单调有界数列，子数列，函数极限，函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，两个重要极限，无穷小量与无穷大量，闭区间套定理，上确界与下确界，确界存在定理，有限覆盖定理，致密性定理，柯西收敛准则，连续，左连续，右连续，间断点，函数在一点连续的性质，中间值定理，有界性定理，最大值与最小值定理，反函数的连续性定理，一致连续性定理，初等函数的连续性，导数，求导法则，微分，微分与导数的关系，高阶导数，高阶微分，参数方程求高阶导数，费尔马定理，洛尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，洛必达法则，泰勒公式，单调性判别法，极值，凹凸性，拐点，曲线的渐近线，函数作图，不定积分，换元法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式积分，无理函数的积分，平面图形的面积，立体的体积，平面曲线的弧长，曲线的曲率，上极限，下极限，数项级数，正项级数，任意项级数，绝对收敛，条件收敛，无穷乘积，无穷积分，瑕积分，反常积分的收敛与发散，反常积分的计算，柯西主值，函数列，函数项级数，一致收敛，非一致收敛，一致收敛级数的性质，幂级数的收敛域，幂级数的性质，幂级数的展开，富里埃级数，富里埃级数的展开，平面点集，多元函数的极限，多元函数的连续性，偏导数，全微分，方向导数，复合函数的偏导数，一阶全微分形式的不变性，高阶偏导数，高阶全微分，泰勒公式，多元函数的极值，隐函数存在定理，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值，含参变量的定积分，含参变量反常积分的一致收敛，含参变量反常积分的分析性质，欧拉积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第二型曲线积分，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第一型曲面积分，第二型曲面积分，奥高公式，斯托克斯公式。三、 考试要求第一章 函数考试内容：函数 单调函数 周期函数 奇偶函数 复合函数， 反函数 初等函数考试要求：（1）正确理解和掌握函数的概念和性质，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式，了解函数的四则运算，复合函数及反函数的定义；（2）掌握初等函数的性质了解几个常见非初等函数的定义及性质；（3）理解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等，会对初等函数是否具备这些性质进行验证。第二、三章 数列极限与函数极限考试内容：数列极限 数列极限的性质 单调有界数列 子数列 函数极限 函数极限的性质 函数极限与数列极限的关系 两个重要极限 无穷小量与无穷大量 闭区间套定理 上确界与下确界 确界存在定理 有限覆盖定理 致密性定理 柯西收敛准则考试要求：（1）理解和掌握数列极限的“-N”定义；（2）会用数列极限的“-N”定义证明极限的存在性；（3）掌握数列极限的性质，并会证明；（4）会运用极限的四则运算、单调有界定理、两边夹定理、归结原则、柯西收敛准则证明极限的存在性；（5）会运用极限的四则运算、单调有界定理、夹逼定理、归结原则、柯西收敛准则求数列的极限；（6）会运用归结原则、柯西收敛准则证明极限不存在；（7）正确理解和掌握函数极限的严格定义，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；（8）会用极限的严格定义解决有关问题和证明极限的存在性，对极限不存在的含意会叙述并能正确理解；（9）掌握无穷小量、无穷大量的定义，掌握无穷小量阶的比较方法，会用等价无穷小求极限；（10）会用四则运算性质、复合运算性质、两个重要极限来计算函数极限；（11）理解闭区间套定理、确界存在定理、有限覆盖定理、致密性定理、柯西收敛准则的条件和结论，理解这些定理的含意及其关系，熟练掌握各定理的证明方法。第四章 连续函数考试内容：连续 左连续 右连续 间断点 函数在一点连续的性质 中间值定理 有界性定理 最大值与最小值定理 反函数的连续性定理 一致连续性定理 初等函数的连续性考试要求：（1）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），区间上函数连续的概念、间断点及其分类等概念；（2）对一般的函数，特别是初等函数会判别函数间断点的类型；（3）掌握函数在连续点的局部性质；（4）掌握闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、反函数的连续性定理、一致连续性定理），并会应用这些性质；（5）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法；（6）熟练掌握一致连续的概念，并会证明函数在某区间上的一致连续性与非一致连续性；（7）了解初等函数的连续性，并会应用这些性质求极限。第五章 导数和微分考试内容：导数 求导法则 微分 微分与导数的关系 高阶导数 高阶微分 参数方程求高阶导数考试要求：（1）理解导数的定义及其几何、物理意义；（2）掌握可导与连续的关系；（3）熟练掌握求导运算的四则运算法则、复合函数求导法则及初等函数求导公式；（4）会求参数方程所决定函数的导数；（5）会求平面曲线的切线方程和法线方程；（6）理解高阶导数的定义，熟记几个重要基本函数的高阶导数公式；（7）理解函数微分的概念，了解一阶微分形式的不变性的含意及高阶微分不具有微分形式的不变性。第六章 微分中值定理及其应用考试内容：费尔马定理 洛尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 洛必达法则 泰勒公式 单调性判断法 极限 凹凸性 拐点 曲线的渐进线函数作图考试要求：（1）熟练掌握微分学中值定理的条件，结论和证明方法；（2）能用中值定理解决一些证明问题；（3）掌握洛必达法则求极限的方法，了解定理的条件；（4）会求一些重要函数的泰勒公式及拉格朗日余项，皮亚诺余项；（5）会用泰勒公式求极限和求常见函数的近似值；（6）熟练掌握函数取得单调区间、极值、最值、凹凸性、拐点的各充分必要条件；（7）对一般的函数会求其单调区间、极值、最值、凹凸性、拐点及曲线的渐近线；（8）会作一般函数的图象。第七章 实数理论简介考试内容：闭区间套定理，上确界与下确界，确界存在定理，有限覆盖定理，致密性定理，柯西收敛准则以及闭区间上连续函数性质的证明。考试要求：掌握各定理的条件和结论。 第八章 不定积分考试内容：不定积分 换元法 分部积分法 有理函数积分法 三角函数有理式积分 无理函数的积分考试要求：（1）掌握原函数、不定积分的概念；（2）熟练掌握基本积分公式及线性运算法则；（3）熟练掌握换元积分法和分部积分法；（4）会计算有理函数的积分，能熟练将三角函数和几类常见的无理函数化为有理函数进行积分。第九章 定积分考试内容：定积分 定积分存在的条件 可积函数类 定积分的性质 微积分基本定理 定积分的换元法 分部积分法考试要求：（1）掌握定积分的定义，大、小和的定义及性质等；（2）掌握可积的必要条件、充分条件和证明思路；（3）掌握可积的充分必要条件及证明思路；（4）掌握可积函数类及其证明；（5）掌握微积分基本定理的条件、结论及应用方法；（6）熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。第十章 定积分的应用考试内容：平面图形的面积 立体的体积 平面曲线的弧长 考试要求：（1）熟练掌握平面图形面积的计算方法；（2）掌握体积的计算方法；（3）掌握平面曲线的弧长的求法，了解曲线的曲率；（4）掌握旋转体的侧面积。第十一章 反常积分考试内容：无穷积分 瑕积分 反常积分的收敛与发散 反常积分的计算 考试要求：（1）理解反常积分的概念；（2）会判断反常积分的收敛与发散；（3）掌握反常积分的绝对收敛与条件收敛；（4）会利用牛顿莱布尼兹公式、换元积分、分部积分法计算反常积分。第十二章 数项级数考试内容：上极限 极限 数项级数 正项级数 任意项级数，绝对收敛 条件收敛 考试要求：（1）理解上、下极限的定义、性质、相互关系及上、下极限和极限的关系；（2）深刻理解数项级数收敛的定义及其与数列收敛的关系；（3）掌握正项级数及交错级数的收敛与发散判断方法，理解收敛级数，绝对收敛级数与条件收敛级数的关系、性质及证明方法；（4）会用柯西准则判断一些数项级数的敛散性，特别是级数发散性的判别；（5）了解绝对收敛级数的性质；（6）了解无穷乘积的概念与性质，了解无穷乘积与无穷级数的关系，了解无穷乘积的绝对收敛性。第十三章 函数列与函数项级数 考试内容：函数列 函数项级数 一致收敛 非一致收敛 一致收敛级数的性质考试要求：（1）正确理解函数列、函数项级数的收敛及一致收敛的定义、关系和性质；（2）能熟练地运用魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判断法，阿贝尔（Abel）判断法和狄里克莱（Dirichlet）一致收敛判断法；（3）理解函数列的极限函数、函数项级数的和函数的分析性质。第十四章 幂级数考试内容：幂级数的收敛域 幂级数的性质 幂级数的展开 考试要求：（1）理解幂级数的概念及其性质；（2）会求幂级数的收敛半径和收敛域；（3）熟练掌握一些初等函数的幂级数展开式；（4）会利用幂级数求某些数项级数的和。第十六章 多元函数的极限与连续考试内容：平面点集 多元函数的极限 多元函数的连续性考试要求：（1）掌握三维空间中点集的一系列概念；（2）深刻理解一元函数与多元函数的极限连续及重极限、累次极限的区别和联系；（3）会证明平面点集的闭矩形套定理、致密性定理、有限覆盖定理；（4）掌握求多元函数极限的基本方法；（5）对比一元函数，正确理解有界闭区域上二元连续函数的性质，并要求会证明。第十七章 多元函数微分学考试内容：偏导数 全微分 方向导数 复合函数的偏导数 一阶全微分形式的不变性 高阶偏导数 高阶全微分 泰勒公式 多元函数的极值考试要求：（1）掌握二元函数的偏导数、全微分的定义，并能熟练地求多元函数的偏导数及高阶偏导数，会证明函数在一点是否可微；（2）能熟练掌握二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系：（3）理解二元函数的中值定理和泰勒公式；（4）会求简单二元函数的极值；（5）掌握方向导数的概念，并会计算函数在某点沿某一方向的方向导数。第十八章 隐函数理论与应用考试内容：隐函数存在定理 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 条件极值考试要求：（1）会求由一个方程或方程组确定的隐函数的偏导数；（2）会求空间曲线的切线与法平面；（3）会求曲线的切线平面与法线；（4）会求条件极值（只要求含有两个条件的极值问题）。第十九章 含参量积分考试内容：含参变量的定积分 含参变量反常积分的一致收敛 含参变量反常积分的分析性质 欧拉积分考试要求：（1）掌握含参量的定积分的概念与性质，并会利用含参量的定积分的性质计算某些含参量的定积分；（2）掌握含参量的反常积分收敛和一致收敛的概念及两者的区别，会判断一些反常积分收敛和一致收敛性；（3）掌握含参量的反常积分的分析性质，并会利用含参量的反常积分的分析性质计算某些含参量的反常积分的值：（4）掌握r函数与B函数的关系，了解r函数与B函数的其它表示形式，并会利用r函数与B函数及其它们之间的关系计算某些积分。第二十、二十二章 曲线积分与曲面积分考试内容：第一型曲线积分 第二型曲线积分 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 第一型曲面积分 第二型曲面积分 奥高公式 斯托克斯公式考试要求：掌握第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义、性质及计算公式。 第二十一章 重积分考试内容：二重积分 三重积分考试要求：（1）二重积分的可积性的讨论只要求学生理解其基本思想；（2）掌握二、三重积分的定义以及利用累次积分计算它们的方法；（3）理解二重积分的变量替换定理的内容，会用变量替换计算某些二重积分，特别要求会用极坐标变换、反常极坐标变换计算二重积分，会计算某些简单的反常二重积分；（4）理解三重积分的变量替换定理的内容，会用变量替换计算某些三重积分，特别要求会用柱面坐标变换、球面坐标变换和反常球面坐标变换计算三重积分；（5）了解重积分在几何和物理上的应用。四