向量五心终极版本(老师)

向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇一、五心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。(5) 旁心三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点 二、 “重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M 图图 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心图图【解析】 若，则，则是的外心，如图。【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。三、三角形性质总结1O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3O是的外心(或)若O是的外心则故4O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成 ，O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心，则ACBCCP故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；三、经典例题训练题例10若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .证明 若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11 设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心. 求证 证明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .补充练习1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点1. B取AB边的中点M，则，由= (+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （D） 外心 内心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的 （C） 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的 （C） 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的 （D ） 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 （B） 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的： （ B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形，选D8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 19.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10. 如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则。 证 点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习1.1已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2在ABC中，有命题；若，则ABC为等腰三角形；若，则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是 A、 B、 C、 D、2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知ABC中，有和,试判断ABC的形状。练习1、已知ABC中，B是ABC中的最大角，若，试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是ABC所在平面内的一点，满足，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P 的轨迹一定通过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例4、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习3、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：6、小结 处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业1、已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于 A、 B、0 C、1 D、3、已知O是AB