外接球与内切球半径

一丶外接球半径：A1B1C1ABC1.如上图，圆柱丶直三棱柱A1B1C1-ABC丶三棱锥A1-ABC丶四棱锥A1- B1C1CB的外接球都是同一个球，外接球半径均为：R=r2+(h2)2其中：r为圆柱底面半径，h为圆柱的高。同时，圆柱两底面分别为A1B1C1和ABC的外接圆，由此可得出如下结论：（1）圆柱的外接球半径为：R=r2+(h2)2其中：r为圆柱底面半径，h为圆柱的高。（2）直三棱柱A1B1C1-ABC的外接球半径为R=r2+(h2)2其中：r为三棱柱底面三角形外接圆半径，h为棱柱的高。（3）有一条棱与底面垂直的三棱锥A1-ABC的外接球半径为：R=r2+(h2)2其中：r为棱锥底面三角形外接圆半径，h为与底面ABC垂直的棱A1A的长度。（4）有一侧面与底面垂直（侧面A1B1C1底面B1C1CB）且底面为矩形的四棱锥A1- B1C1CB的外接球半径为：R=r2+(h2)2其中：r为棱锥中与底面垂直的侧面A1B1C外接圆的半径，h为与侧面A1B1C1垂直的矩形的边BB1的长度。注：三角形外接圆半径可由正弦定理推导，即asinA=bsinB=csinC=2r其中，r为三角形外接圆半径。2.正三棱锥：以棱长为a的正三棱锥外接球半径推导为例：对于棱长为a的正三棱锥，其外接球如图:ABCDEOO1过A作A O1底面BCD，则O1为BCD的外接圆圆心，DE为BC边中线，且三棱锥圆心O在A O1上。在等边BCD中，DE=32a故DO1=23DE=33a在RtAD O1中，A O1=AD2-DO12=a2-33a2=63a因O为球心，故OD=OA=R由DO12+OO12=DO2可得：(33a)2+(63a-R)2=R2解得：R=64a3.正四棱锥：正四棱锥的外接球球心也在底面正方形对角线交点与顶点连线上，同正三棱锥外接球球心半径推导过程。可得：棱长为a的正四棱锥，其外接球半径为R=22a注：棱长为a的正四棱锥的高为22a，故正四棱锥的外接球球心即为底面正方形对角线交点。4.长方体：长方体外接球的球心为其体对角线的中点对于长宽高分别为a.b.c的长方体，其外接球半径为：R=a2+b2+c22特别地：对于正方体，其长宽高均为a，故其外接球半径为R=32a注：对于一般几何体可建立直角坐标系，根据球心到各顶点距离相等建立方程组求解。二丶内切球半径1. 正方体：正方体内切球球心位于其体对角线中点处，对于边长为a的正方体，其内切球半径R=a22. 正三棱锥：正三棱锥内切球球心到各面距离均为R（R为内切球半径），故以内切球球心为顶点，各面为底面将其分成4个三棱锥。（其中3个以侧面为底的三棱锥体积相同，当棱长均为a时，分成的4个三棱锥体积均相同）对于边长为a的正三棱锥，各面均为边长为a的正三角形，内切球球心到各面距离均为R，故由分成的小三棱锥体积和等于正三棱锥体积可得：13SR4=13Sh其中，S为正三棱锥各面面积，h为正三棱锥的高且h=63a故R=612a3.正四棱锥：推导方法同正三棱锥内切球半径推导一样，以内切球球心为顶点，各面为底面将正四棱锥分成4个体积相等的三棱锥和一个四棱锥。（其中4个以侧面为底的三棱锥体积相同）侧面面积为S1=12a2sin60=34a2底面面积为S2=a2故由体积不变得：13S1R4+13S2R=13S2h其中，h为正四棱锥的高，且h=22a故R=6-24a4.直三棱柱：O直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，故仅有满足h=2r的直三棱柱有内切球，其中，h为直三棱柱的高。三角形内切圆半径求法如下：如图，设三角形三边长分别为a.b.c，其内切圆圆心为O，以O为顶点，3边为底边将其分成3个三角形，由于O点到三边距离均为r，故三个三角形的高均为r，