D3.1-3.2一维波动与热传导定解问题分离变量法PPT演示课件

1,分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题。要求熟练掌握。,初值问题(柯西问题)：无边界条件的定解问题。,边值问题：无初值条件的定解问题。,混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。,第三章分离变量法,2,本章主要内容,1、一维波动与热传导定解问题分离变量法,2、高维定解问题分离变量求解,3、非齐次定解问题的求解,学时：8学时,3,一维波动与热传导定解问题分离变量法,本次课主要内容,(一)、波动方程定解问题的分离变量法,(二)、热传导方程定解问题的分离变量法,4,分离变量法的基本思想,将未知的多元函数假设为若干一元函数之积，把偏微分方程转化为求解常微分方程（直接求特解的方法）。,5,齐次弦振动方程的混合问题求解,(一)、波动方程定解问题的分离变量法,分析：,(1)定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程，所以各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特解，可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！,6,因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式可能为：,(2)物理模型：乐器发出的声音可以分解为若干不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为：,该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元函数乘积的形式。,7,设方程(1)具有可以分离变量的解:,把(4)代入(1)与(2)得：,注：如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条件，能够得到(5)与(6)吗？,答：不能！,所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件，否则，要作齐次化处理！见例3,8,欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令：,考虑如下方程：,下面讨论该方程的解,9,(1)当时,从而,10,(2)当时,(3)当时,11,注：对于参数的某些值，问题(8),(9)的非平凡解存在，称这种值为固有值(本征值)；同时称相应的非平凡解X(x)为固有函数(本征函数)；求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题(本征值问题)。,分离变量的核心问题是固有值问题(本征值问题)！,12,由(7)还可得：,该方程对应于固有值n的通解为：,把(10)、(12)代入(4)得：,13,(13)是满足方程和边界条件的特解，但不满足初始条件。由于方程与边界条件是线性的，因此，由叠加原理2，下面表达式仍然满足方程和边界条件。,欲使(13)满足方程和边界条件和初始条件。只需把(14)代入初始条件，求出Cn,Dn即可！,14,将在0,L上按奇式傅里叶展开得：,问题回顾：,1、分离变量法的物理背景是什么？,2、分离变量法的使用条件是什么？,3、什么是分离变量法的固有值问题？,4、小结分离变量法的步骤。,15,1、分离变量,2、求解固有值问题,3、求解其它常微分方程对应于固有值的解,利用分离变量法求定解的步骤,4、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。,16,例1求下面定解问题,解:1、分离变量,17,得：,2、求解固有值问题,(1)当时,18,(2)当时,(3)当时,由条件得：,19,所以，固有值为：,固有函数为：,3、求解如下微分方程,20,4、一般解为：,21,例2两端固定的弦长为l，用细棒敲击弦上x=x0点处，亦即在点x=x0施加冲量，设其冲量为I。求解弦的振动。,解:定解问题为：,由分离变量法得定解问题的一般解为：,22,由初始条件得：,定解问题的解为：,23,例3求解如下定解问题,分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！,令：,代入原方程得：,24,欲使关于V(x,t)的定解问题可分离变量，W(x)要满足：,求解得：,原问题变为：,25,由分离变量得定解问题的一般解为：,由初始条件得：,所以，定解问题的解为：,26,(二)、热传导方程混合问题分离变量解法,例1设有长度为L的，均匀的，内部无热源的热传导细杆，侧面绝热，其左端保持零度，右端绝热，初始温度分布为已知。该定解问题应为,27,解：1、分离变量,2、求解固有值问题,28,(1)当时，特征值问题无非零解.,(2)当,由条件得：,29,固有函数为：,30,利用叠加原理，得一般解为：,由初始条件得：,31,例2设有长度为L的，均匀的，内部无热源的热传导细杆，侧面绝热,求温度分布:(1)左端右端保持零度，初始温度分布为。(2)该定解问题应为,32,解:(1)分离变量,(2)固有值问题,相应的固有函数为：,33,一般解为：,由初始条件得：,34,(2),35,例3设有一条长为2L温度为零的均匀杆，其两端与侧面都绝热。现在用一个火焰集中在杆的中点烧它一下，使传给杆的热量恰好等于c(设c为杆的比热，为线密度）.求杆上的温度分布。,解：问题归结为解定解问题,36,解：1、分离变量,2、求解固有