2-2 平稳随机过程和各态历经过程（课堂PPT）

1,2.2平稳随机过程和各态历经过程,2.2.1严平稳过程2.2.2宽平稳过程2.2.3各态历经过程2.2.4平稳随机过程的相关性分析,2,2.2.1严平稳过程,一个随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即对任意的正整数n和所有实数，随机过程X(t)的n维概率密度函数满足：fX(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=fX(x1,x2,xn;t1+,t2+,tn+)则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义的平稳随机过程）。,严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。,1、定义,3,2、性质,（1）严平稳随机过程的一维分布与时间t无关。,f1(x1,t1)=f1(x1),4,2、性质,二维分布只与时间间隔=t2-t1有关，即有,f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;),5,3、严平稳的判断,(1)若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。,(2)若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0，X(t0)具有相同的统计特性。,按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：,6,若随机过程X(t)满足,则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。,严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。,2.2.2宽平稳过程,1、定义,7,例1某随机相位余弦波X(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。,例题,8,解：X(t)的数学期望为,例题,9,X(t)的自相关函数为,例题,10,X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔有关，所以X(t)为广义平稳随机过程。,例题,11,2.2.3各态历经过程,对平稳随机过程，如果它的统计平均值等于它的任意一次实现（样本）的时间平均值，即：称平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)，X(t)称为广义各态历经过程，简称各态历经过程。,1、定义,12,2.2.3各态历经过程,具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程却不一定都具有各态历经性。,各态历经的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。,13,例2某随机相位余弦波X(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。讨论X(t)是否具有各态历经性。,例题,14,例题,解：X(t)的时间平均为：,X(t)的时间相关函数：,15,比较统计平均（例1）与时间平均，得mX=R()=因此，随机相位余弦波是各态历经过程。,例题,16,一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。,3、各态历经过程和平稳过程的关系,各态历经过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是各态历经的。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知）,2、应用,17,4、各态历经过程的两个判别定理,(1)均值各态历经判别定理,平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件,平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性充要条件,(2)自相关函数各态历经判别定理,式中：,18,对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为,注意：判断一个平稳过程是各态历经的的，总是先假设其是各态历经的的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率1等于统计平均），一般不用两个判别定理。,(3),19,证：,=,20,设,则,21,于是,从而命题得证。,22,2.2.4平稳过程的相关性分析,1.自相关函数的性质设X(t)为实平稳的随机过程：R(0)=EX2(t)=SX(t)的平均功率证明：,23,R()=R(-)R()是偶函数证明：,24,|R()|R(0)R()的上界（上限）证明：EX(t)-X(t+)20EX(t)2+EX(t+)22EX(t)EX(t+)2R(0)2R()同理，EX(t)+X(t+)20可推出2R(0)-2R(),25,R()=E2X(t)=mX2X(t)的直流功率证明：时，X(t)与X(t+)统计独立，无依赖关系。,26,R(0)-R()=2方差，X(t)的交流功率平均功率-直流功率=交流功率EX2(t)-EX(t)2=DX(t),27,2、相关系数,此值在1，1之间。表示不相关，表示完全相关。表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。,自相关系数,28,当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。,通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔，记做相关时间,即:时的时间间隔为相关时间。,有时我们用矩形（高为,底为的矩形）面积等于阴影面积(积分的一半）来定义相关时间，即,物理意义,相关时间越小，就意味着相关系数随增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，越大，则表时随机过程随时间变化越慢。,相