矩阵分析考试重点（课堂PPT）

1,第一章线性空间和线性变换,主要掌握以下内容：1、能给出常见线性空间的基；会求一个向量在给定基下的坐标；会求两组基的过渡矩阵,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,2,例1实数域上的线性空间的一组基,例2实数域上的线性空间中的一组基,例3实数域上的线性空间中的一组基,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,3,习题1-5,北,2,4,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,5,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,6,和子空间,2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数,定理：设,则：,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,7,习题1-7,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,8,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,9,3、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩阵表示;会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,10,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,11,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,12,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,13,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,14,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,15,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,16,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,17,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,18,4、会计算线性变换的特征值与特征向量,是的特征值是的特征值,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,19,第二章矩阵与矩阵的Jordan标准形,主要掌握以下内容：1、会求矩阵的Smith标准形：（1）初等变换法（2）行列式因子法（3）初等因子法2、会求矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子3、会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P：（1）初等变换法（2）矩阵秩的方法4、掌握证明两个矩阵相似的方法：（1）有相同的行列式因子（2）有相同的不变因子（3）有相同的初等因子5、会用Jordan标准形求矩阵的幂,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,20,2-2设，证明：阶矩阵与相似。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,21,证明：计算A的行列式因子。显然下面看阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,22,容易计算出从而,同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是,所以A与B相似。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,23,2-3设证明阶矩阵与不相似。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,24,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,25,正整数使得，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为次单位根。证明：设的Jordan标准形为,2-5设为数域上的阶方阵且存在,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,26,即有可逆矩阵使得由于，所以有从而有,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,27,因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有，这表明为对角矩阵，所以与对角矩阵相似。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,28,28,2-6设为数域上的阶方阵且满足，证明：与对角矩阵相似。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,29,即有可逆矩阵使得由于，所以有,证明：设的Jordan标准形为,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,30,从而即,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,31,因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且，所以有这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵,此矩阵仍然与相似。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,32,作业2-9试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,33,解答：,这里为任意的非零数。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,34,第三章内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵,主要掌握以下内容：1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明；2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反Hermite矩阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半正定矩阵5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵的关系：酉变换、正交变换、Hermite变换、对称与反对称变换、正规变换、正定二次齐次,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,35,3-17设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与的特征值实部为零.证明:设为矩阵的任意一个特征值,那么有.由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得将其代入上面的特征多项式有,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,36,这说明也是矩阵的特征值.另一方面注意矩阵为H-反阵,从而实部为零.同样可以证明另一问.,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,37,习题3-19设是一个半正定的H-阵且证明:证明:设为的全部特征值,由于是半正定的,所以所有的.而且由于，一定存在某个特征值大于0，于是有,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,38,习题3-20设是一个半正定的H-阵且是一个正定的H-阵,证明:证明:由于是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵使得这样有,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,39,注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵,有上面的例题可知从而,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,40,3-21设是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则证明:由于是一个正定H-阵,所以必存在,酉矩阵使得,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,41,由于又是酉矩阵,所以,这样必有,从而,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,42,3-22证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的;证明：设都是半正定H-阵，那么二者之和仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为其中,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,43,由于都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明为一个半正定H-阵。类似地，可以证明另外一问。,北京理工大学高数教研室,2020/5/18,44,习题3-23设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.证明:由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得这表明是可逆的.于