第2章-Poisson过程（课堂PPT）

1,随机数学,第二章泊松过程与更新过程教师:陈萍prob123,2,2.0计数过程定义称一个随机过程是一个计数过程(pointprocess),若N(t)满足:,1)N(t)取非负整数值；,2）若s0和充分小的，有其中为的高阶无穷小。又称为Poission过程的强度系数,易见，Poission过程是一个Levy过程。,5,定理2.1.1若N(t),t0为Poission过程，则,利用定理2.1.1,可得到Poission过程的等价定义:即,定义2.1.2计数过程N(t),t0称为具有参数(或强度)的Poission过程，如果1）N(0)=0，2）具有独立增量性，3）,此即,6,例2.1.1设N(t)表示0,t时段内事件A的发生次数,且N(t),t0形成强度为的Poisson过程.如果每次事件A发生时以概率p能够被记录下来,并以M(t)表示到t时刻记录下来的事件总数,试证明M(t),t0形成强度为p的Poisson流.,解：对照Poisson过程的定义2.1.21)M(t),t0是一计数过程,且M(0)=0;2)每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的记录独立，故M(t),t0具有独立增量性；只需验证3),7,由全概率公式，,8,设首次地震发生(t=0)后的一段时间内，破坏性余震发生序列是一个强度为(次/小时)的泊松过程.任意时刻t0,以V(t)表示t时刻之前最后一次破坏性余震直到t时刻所经历的时间;以W(t)表示t时刻之后直到下一次破坏性余震发生的剩余时间.(1)求V(t)与W(t)的分布函数;V(t)与W(t)独立吗?(2)已知在此之前最后一次破坏性余震发生到现在已过了s小时,求未来t小时内没有破坏性余震发生的概率.,EX,9,解:(1),10,因为泊松过程是独立增量过程,故V(t)与W(t)独立.,(2),11,2.2泊松过程的性质2.2.1到达时间间隔与到达时刻的分布,设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示在0,t内事件发生的次数，令，表示第k个事件发生的时刻;表示第k-1个事件与第k个事件发生的时间间隔，即,先讨论到达时间间隔的Tk分布.,12,定理2.2.1(p62)到达时间间隔序列相互独立同分布，且服从参数为的指数分布.,定理2.2.1提供了Poisson过程的参数估计方法.,EX,设事件的发生过程N(t),t0为Poisson过程.某日从0点开始,记录到事件发生时刻为0:33,1:00,2:27,3:05,3:36的取值:t1t2,tnT.试用极大似然法估计该过程的强度.,13,参数的极大似然估计:一般地,若从0时刻开始,观察到Poisson过程N(t),t0的一段样本轨道:1,n的取值:t1t2,0,N(t)P(t),且在N(t)=n条件下，的条件概率密度是,则N(t),t0为泊松过程.证略,思考:如何利用以上定理对泊松过程进行计算机模拟和检验?,26,2.3Poission过程的推广,(3)若,则,定理2.3.1(1)X(t),t0是平稳独立增量过程;(2)其特征函数为,定义2.3.1设N(t),t0为强度为Poission过程,Yi,i1是独立同分布的随机变量序列,且Yi,i1与N(t),t0独立,记,称X(t),t0为复合Poission过程(compoundpoissonprocesses).,27,例2.3.1设保险公司在0,t时段内接到的索赔次数N(t)形成强度为的Poisson流,且设保险公司第i次赔偿额是Yi,Yi,i=1,2,独立同正态分布,则每月要付出的赔偿额服从什么分布？一年中它要付出的平均金额是多少?,解：0，t内赔偿额形成复合Poission过程，每月要付出的赔偿额特征函数为,一年中它要付出的平均金额是,28,条件Poisson过程定义2.3.2设是一个正的随机变量,分布函数为G(x),x0,设N(t),t0是一计数过程,且当给定=时,N(t),t0是一Poisson过程,即,有,称N(t),t0是条件Poisson过程.,定理2.3.2设N(t),t0是条件Poisson过程,且则,(2)EN(t)=tE(3),29,例2.3.2设意外事故的发生频率受某种未知因素影响,有两种可能1,2,且,0p0,N(t+s)-N(t)为具有参数的Poisson分布.,32,设某设备的使用期限为10年,在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.试求它在使用期内只维修过一次的概率,EX,33,2.4更新过程,一个计数过程,若它们相邻事件到达时间间隔Tn是指数分布,则此过程为Poisson流.若是一般分布,则此过程为更新过程(renewalprocesses).更新机器零件问题是更新过程的典型例子.某机器上有一个零件是易损件,每当它损坏时,就要换上新的零件.t=0时开始装上一个零件,机器持续地运转一段时间T1,该零件损坏,立即用寿命T2的零件来更换,这样不断地进行下去,关于这一列Tn的更新过程N(t),t0就表示到t时刻为止更换的零件数.,34,则称N(t),t0为更新过程。,2.4.1更新过程的定义,显然,更新过程是一个计数过程.在更新过程中,我们将事件发生一次叫作一次更新,从而定义中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的时间,n是第n次更新发生的时刻.N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数.,定义2.4.1设为独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为F(x),且F(0)0，令,求,提示：设X是非负随机变量，分布函数为F(x),如果期望E(X)存在，则,46,更新过程的推广(1)更新报酬过程,定义2.4.6设更新过程N(t),t0的时间间隔为随机变量序列Xn,n1.其分布为F，Rn(可以依赖于Xn)表示第n次更新时可得到的报酬，且Rn,n1独立同分布，再设(Xn,Rn),n1独立同分布，令，则R(t)表示在(0,T中的总报酬，称R(t),t0为更新报酬过程。,47,交错更新过程,考虑只有两个状态的系统：开(1)或关(0)，系统在t=0时是开的且持续开的时间为Z1;接着关闭且持续时间为Y1；之后又开着持续时间为Z2，又关闭时间为Y2，如此开关交替重复下去。设(Zn,Yn),n1为独立同分布的随机变量序列,记则N(t),t0为更新过程。记,称为交错更新过程.,48,终止更新过程就是不会进行无限次更新的更新过程，它与上面讨论的更新过程的区别在于：事件发生的相邻间隔长度为无穷的概率大于0。,终止更新过程,定义设独立同分布F(t),F(0-)=0，F()=p1,则称F相应的记数过程N(t),t0为终止更新过程。,记