正定矩阵概念及例题（课堂PPT）

正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法,正定二次型,下页,关闭,正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。,1,二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。,正定二次型和正定矩阵的概念,定理11(惯性定理)设有实二次型,它的秩是r，有两个实的可逆变换,上页,下页,返回,正数的个数称为正惯性指数，负数的个数,称为负惯性指数,2,对任何x0,都有f(x)0；如果,定理12实二次型,为正定的充分,必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。,证设可逆变换,上页,下页,返回,3,先证充分性,推论对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。,再证必要性：用反证法。假设有ks0,则,(单位坐标向量)时，,这与假设f正定矛盾，,上页,下页,返回,4,定理13对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。即,对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即,这个定理称为霍尔维兹定理。,上页,下页,返回,5,注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。,上页,下页,返回,6,判别矩阵正定的方法,根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法。一是求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。二是计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。,上页,下页,返回,7,例16,判定对称矩阵,正定性。,解方法一,所以A是正定的。,上页,下页,返回,8,方法二：A的特征多项式为,上页,下页,返回,9,由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。一是利用对称矩阵A的正定性。若二次型f的对称矩阵A是正定的，则f是正定二次型；若A是负定的，则f也是负定二次型。二是将f化为标准形。若其标准形的n个系数全为正，则f是正定的；若f的标准形的n个系数全为负，则f是负定的。由于将f化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。,上页,下页,返回,判别二次型正定的方法,10,解f的矩阵是,所以f是负定的。,例17,判别二次型,的正定性。,A的各阶主子式为：,上页,下页,返回,11,例18,设二次型,解,f的矩阵是,A的各阶主子式为：,上页,下页,返回,12,Ex.11,判别二次型,解f的矩阵是,所以f既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。,的正定性。,A的各阶主子式为：,上页,下页,返回,13,例19,设C是满秩矩阵，实对称矩阵A是正定的，则CTAC是正定的。,证,因为A为正定，所以对任意,即CTAC是正定的。,上页,下页,返回,14,Ex.12,证明：若实对称矩阵A=(aij)为正定矩阵，则aii0(i=1,2,n).,证,因为A为正定，所以对任意,上页,返回,15,第五章小结,本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。,上页,下页,返回,16,第五章主要方法,一)方阵的特征值与特征向量的求法,上页,下页,返回,17,二)用正交方阵将方阵化为对角阵的方法,(1).求A的特征值；(2).求A的特征值对应的n个线性无关的特征向量；(3).将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量；(4).将(3)中n个特征向量单位化，得到n个两两正交的单位特征向量；(5).以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有,上页,下页,返回,18,三)化二次型为标准型的方法,(1).正交变换法1.写出二次型对应的矩阵A.2.将A化为对角阵，求出正交阵P.3.写出标准型，且正交变换为X=PY.,(2).配方法1.含有平方项，直接配方；2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;,上页,下页,返回,19,四判定矩阵与二次型为正定的方法,1.