第五章不等式（课堂PPT）

1,第五章不等式,1不等式（组）的概念及性质2不等式（组）的同解性3解不等式（）4*不等式的证明（）5*几个重要不等式（）6不等式的应用（）,2,1.学习目的与要求：熟练掌握不等式的解法掌握证明不等式的常用方法与技巧，能运用不等式的知识解决一些数学问题2.学习重点：不等式的解法，证明不等式的常用方法，几个重要不等式，运用不等式的知识解决一些数学问题等内容是教学的重点不等式证明的技巧、不等式知识的灵活应用是教学的难点,3,一、不等式的概念,5.1不等式的概念及其性质,二、不等式组的概念,4,三、不等式的分类,代数不等式,初等超越不等式,有理不等式,无理不等式,整式不等式,分式不等式,二次,高次,指数不等式,对数不等式,一次,5,5.1不等式的概念及其性质,四、不等式的性质（1）若则反之，若则（对逆性）（2）若，则（传递性）,6,（3）若则（加法单调性）（4）若则若则（乘法单调性）（5）若则（相加法则）,7,（6）若则（相乘法则）（7）若（倒数法则）（8）设若整数则（乘方法则）（9）设若整数则（开方法则）（10）|a|-|b|ab|a|+|b|,8,5.2不等式（组）的同解性,同解不等式：,如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。,不等式的同解变形：,一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形就叫做不等式的同解变形。,如：2x+60与x-3,不等式的同解定理（略）,9,5.3解不等式（组）,1.一元二次不等式的解法：,10,一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次函数的图象的关系：,有两异根x1x2,有两重根x1=x2=,无实根,xx2,x1xx2,R,11,5.3解不等式（组）,例1：解关于x的不等式,2.一元高次不等式的解法“穿针引线法”,12,3.数形结合解不等式,P245.例10：,5.3解不等式（组）,13,4.绝对值不等式的解法,例2.试解不等式|x-1|+|x+2|5,方法一：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解体现了分类讨论的思想解：分三种情形求解x1.(略),14,4.绝对值不等式的解法,例2.试解不等式|x-1|+|x+2|5,方法二：利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想,解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2,所以原不等式的解为,5.3解不等式（组）,15,链接高考：,1（2009广东）不等式,的实数解为,【解析】,5.3解不等式（组）,A,16,课堂练习,17,还有没有其他方法?,18,5.4不等式的证明,1.比较法2.分析法3.综合法4.换元法5.反证法6.放缩法7.数学归纳法8.构造法,19,1、比较法,比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。,两种形式,作差法：作商法：,几点说明,比较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；作差法证题时,通常是进行因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断；作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等式时常用比商法。,5.4不等式的证明,20,5.4不等式的证明,2、分析法,从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方法叫做分析法。,分析法的证题思路是执果索因。,3、综合法利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这种证明方法称为综合法。,综合法的证题思路是由因导果，也就是从已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直接推导出所要证的不等式。,21,5.4不等式的证明,证法一：,比较法,22,5.4不等式的证明,证法二：,综合法,23,5.4不等式的证明,24,5.4不等式的证明,4.换元法：结构较为复杂、量与量之间关系不很明显的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法时一定要注意新元的取值范围换元必须等价。,常见的换元形式（1）三角换元,对于条件不等式的证明问题，当变量符合三角函数取值范围时，可考虑用三角代换，将代数问题转化为三角问题,（2）增量代换,对称（或循环对称）不等式常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使问题化繁为简,化难为易。,25,5.4不等式的证明,5、反证法,从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,6.放缩法：欲证不等式AB，可通过适当放大或缩小，借助一个(或多个)中间量C作比较，使得AC与CB同时成立，由不等式的传递性知AB显然成立，这种方法叫做放缩法。,7.数学归纳法8.构造法构造函数（利用单调性）、图形等,26,5.4不等式的证明,证明（增量代换）：,令a-b=m,b-c=n，则a-c=m+n.m、n均为正数.,原不等式化为,此不等式更简洁、容易证。,27,5.4不等式的证明,证法一（综合法）：a2+b22ab,-a2-b2-2ab.,从而00.,例3、设-1a1,-1b1,求证:,此证明方法的分析其实是从这里开始的,28,5.4不等式的证明,证法二（三角代换）：设a=sin,b=sin,则,例3、设-1a1,-1b1,求证:,简单些可以限制、在-/2，/2,29,5.4不等式的证明,30,5.4不等式的证明,31,5.5几个重要不等式,一、柯西不等式,32,分析：,一、柯西不等式,33,二、琴生（Jensen）不等式(课本P262）,5.5几个重要不等式,34,5.5几个重要不等式,三、平均不等式设aiR+（i=1，2，n），令,35,定理：,36,5.5几个重要不等式,四、伯努利（Bernoulli）不等式(课本P264）,37,五、排序原理（排序不等式）设是的任意一排列，则（反序和）逆序和（乱序和）（同序和）顺序和排序原理还有多组的情形，即“多组排序原理”,5.5几个重要不等式,38,例1：已知，求证：,5.5几个重要不等式,平均不等式,39,例2：在中，求证（课本P266例2（1）,5.5几个重要不等式,琴森不等式,40,5.5几个重要不等式,分析：,排序原理,41,5.5几个重要不等式,平均不等式,柯西不等式,42,课堂练习：课本P279：17-21题,43,5.6不等式的应用,一、利用二次函数性质求最值(课本P269）二、利用二次函数的值域求最值(P270)三、利用重要不等式求最值（均值不等式、柯西不等式、琴森不等式）,44,5.6不等式的应用,均值不等式,当且仅当时取“=”号,即当时,函数的最小值为,解:,45,一正,二定,三相等,必须有自变量值能使函数取到=号.,各项必须为正;,含变数的各项和或积必须为定值;,小结：利用均值不等式求函数最值应注意:,46,阅读下题的各种解法，指出有错误的地方,例6：,47,阅读下题的各种解法，指出有错误的地方,