格林公式及其应用（课堂PPT）

格林公式及其应用,1,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,2,一、格林公式,在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式：,表示:,在区间a,b上的积分可以通过它的原函数,在这个区间端点上的值来表达。,下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上,的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。,3,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。通俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。,例如，平面上的圆形区域（x,y）|1,4或,2都是复连通区域。,（x,y）|00，作为于D内的,圆周l:,记L和l所围得闭区域为D1(如图)。,对复连通区域D1应用格林公式，得,11,其中l的方向取逆时针方向，于是：,12,一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外，还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。,设G是一个开区域，且P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数。如果对于G内任意指定的两个点：,二平面曲线积分与路径无关,13,以及G内从点A到点B的任意两段曲线L1，L2等式：,恒成立，则称曲线积分,在G内与路径,无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从A到,B的曲线积分可记为,或,14,定理2设二元函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域G具有一阶连续偏导数，则在单连通区域G内下列条件等价：,（1）,（2）沿任意分段光滑的有向,（3）曲线积分,与路径无关。,闭曲线L，有,15,满足,注意：,(1)定理中的等价关系是建立在单连通区域内的，并且要求P(x,y),Q(x,y)在G上具有有一阶连续偏导数，当这两个条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。,(2)定理中命题(2)和(3)的等价区域可以不是单连通的。,(3)若函数P(x,y),Q(x,y)满足定理2条件,16,例4设函数Q(x,y)在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分,与路径无关，且对任意实数t，恒有,求函数Q(x,y).,解：由题意知曲线积分与路径无关，因而有,17,即,于是,其中,为任意可导函数。,如图所示，取点A(t,0),B(t,1),C(1,0),D(1,t).对所给等式,左端沿折线OAB,右端沿折线OCD直线进行曲线积分，得,18,将前面得到的Q(x,y)代入上式，得,即,两段对t求导数，得,或,故,19,三、二元函数的全微分求积,给定u(x,y)，,-求二元函数全微分问题,-二元函数的全微分求积分题,讨论以下两个问题：,20,定理3,设区域G是一个单连通域，函数P(x,y)+Q(x,y)，在G内具有一阶连续偏导数，则在G内是某个函数的全微分的充分必要条件是：,在G内恒成立。,证明略。,推论：,21,说明：,(2)推论给出了全微分求积得方法，即：可用积分法求,及动点M(x,y)，,22,23,例：,证：,24,小结,内容,应用,1、格林公式,常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较,简单的二重积分的计算.,2、曲线积分与路径无关的条件,25,3.等价条件,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,在D内与路径无关.,对D内任意闭曲线L有,在D内有,在D内有,26,求第二类曲线积分的思路:,27,专项练习,1.计算下面曲线积分，并验证格林公式的正确性：,解：,其中L是由抛物线,及,所围成的区,域的正向边界曲线；,28,故,用二重积分计算：,29,2.利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积：圆：,解：,正确。,的参数方程为：,所以格林公式：,圆：,30,3.证明下面曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值：,31,解:,在整个xOy平面内成立，所,以积分与路径无关。选取特殊的积分路径为从(1,1)到(2,1),到(2