参数的点估计与区间估计（课堂PPT）

第七章,参数估计,进行统计推断的一般步骤为:,总体,样本,统计量,作出推断,统计推断的基本问题,参数估计问题,假设检验问题,参数的点估计,参数的区间估计,参数假设检验,非参数假设检验,参数估计问题:就是要利用样本,对总体分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数作出估计.,如:,估计产品的废品率;,估计湖中鱼的数量;,估计降雨量等等.,参数估计又分点估计与区间估计.,设总体X的分布中含未知参数,1参数的点估计,(X1,X2,Xn)是一样本,要构造一统计量,作为,的估计,(叫做的点估计量);,对应样本值(x1,x2,xn),叫做的点估计值.,可作为,的估计值，,构造点估计的常用方法,矩估计法(momentmethodofestimation),极大似然估计法(methodofmaximumlikelihood),矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩.,一、矩估计法,理论依据是大数定律.,矩估计法:,用样本的l阶原点矩,作为总体的l阶原点矩,的估计,(若未知参数有k个,则一般取l=1,k),由矩估计法求得的估计量叫矩估计量,相应的估计值叫矩估计值.,去求出未知参数的估计量.,解:,解得,总体矩用相应的样本矩代替,得矩估计量:,解:,解得,总体矩用相应的样本矩代替,得a与b的矩估计量:,解:,解得,总体矩用相应的样本矩代替,得矩估计量:,其基本思想是概率最大的事件最可能发生.,是在总体类型已知的条件下使用的一种参数估计方法.,二、极大似然估计法,例如:,某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只野兔从前方窜过.只听一声枪响，野兔应声倒下.,是谁打中的呢？,你很自然地想到:只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.这一枪应该是猎人射中的.,极大似然估计原理：,设总体X为连续型,其概率密度为,(是待估参数),(X1,X2,Xn)为一样本,相应的样本值为(x1,x2,xn):,则Xi落在xi,xi+dxi)中的概率约为,(X1,X2,Xn)落在(x1,x2,xn)旁边的概率近似为,其取值随,而变;,既然在一次抽样中就得到了样本值(x1,x2,xn),因而我们有理由认为:,样本(X1,X2,Xn)在(x1,x2,xn)旁边取值的概率比较大;,根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取使,概率,达到最大的参数,作为,的估计；,即求使,记,叫做样本的似然函数,则求使,如此求出的,作为,的估计,叫的极大似然估计.,求时,通常对求导,令其为0,来获取结果.,若总体X为离散型,则,中的,以代.,若总体X为连续型,概率密度为,设(X1,X2,Xn)为总体X的一样本,(x1,x2,xn)为样本值:,引入似然函数,求使最大.,综述之,的极大似然估计的求法如下:,解:,X的概率密度,似然函数,两边取对数得,续解:,分别对,求导并令其为0得,例:设总体XP(),求的极大似然估计.,解:,X的分布律为,设(X1,X2,Xn)为一样本,样本值为(x1,x2,xn),似然函数,两边取对数得,续解:,有时用求导方法无法最终确定未知参数的极大似然估计,此时用极大似然原则来求.,解:,X的概率密度,似然函数,利用求导方法无法确定未知参数的极大似然估计,由L(a,b)的表达式知:,若ba取最小,则L(a,b)达到最大,故得,问题讨论:如何估计湖中的鱼数?,第二次捕出的有记号的鱼数X是随机变量,X的分布为：,为估计湖中的鱼数N,第一次捕上r条鱼,做上记号后放回.隔一段时间后,再捕出S条鱼,结果发现这S条鱼中有k条标有记号.根据这个信息,如何估计湖中的鱼数呢？,我们可用极大似然法估计湖中的鱼数.,把上式右端看作N的函数，记作L(N;k).,应取使L(N;k)达到最大的N,作为N的极大似然估计.,但用对N求导的方法相当困难,我们考虑比值：,经过简单的计算知,这个比值大于或小于1,这就是说,当N增大时,序列L(N;k)先是上升而后下降;当N为小于的最大整数时,达到最大值.,故N的极大似然估计为,请看演示捕鱼问题,求估计量的方法很多,用不同的方法求出的估计量会不一样.我们希望用较好的估计量去估计未知参数.因而有必要讨论:如何评价一个估计量的好坏?,3估计量的评选标准,常用的几条标准是：,无偏性,有效性,一致性,估计量是随机变量,其取值随样本值的不同而不同.我们希望估计量的取值在被估参数附近摆动,即它的期望值等于被估参数.由此引入了无偏性这个标准.,同样是无偏估计量,有的取值较集中,有的取值较分散.自然是:取值越集中的越好.由此引入了有效性这个标准.,估计量与样本容量有关,我们希望:随着样本容量的无限增大,估计量与被估计量任意接近的可能性越来越大.由此引入了一致性这个标准.,无偏性:,若,则称,有效性:,若及都是的无偏估计,且,则称,较有效.,一致性:,设总体X的均值为,因,方差为,(X1,X2,Xn)是它的一个样本,表明:,样本均值是总体均值的无偏估计.,样本方差是总体方差的无偏估计.,它们也是一致估计,注:,不是的无偏估计,解:,X1,X2,X3独立与X同分布,故,同理得,所以d1,d2都是,的无偏估计.,续解:,同理得,所以d1比d2有效,d1更好.,参数点估计是用一个确定的值去估计未知参数,得到的是未知参数的近似值.,但在很多实际问题中,我们不但需要求出未知参数的近似值,还需知道近似值的精确程度;,数学上的处理方法是:确定一个范围(区间),使我们能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值.,这就是参数的区间估计.,4&5参数的区间估计,一、置信区间,设总体X的分布中含未知参数,若有统计量,使对给定的,有,则称,是,的置信度(置信水平,置信概率)为,的双侧置信区间.,注:,对连续型总体X,一般按,求置信区间.,而对离散型总体X,应求,使,至少为,且尽可能地接近,由于我们主要讨论正态总体,属连续型，故取等号处理.,二、置信区间的求法,解：,求一区间,使,由于样本均值是的无偏估计,而,根据U的分布，我们可确定一个区间,即上面的,使得U在该区间取值的概率为,从图中可看出,这样的区间,不是唯一的.,常以双侧等概率方式处理,即对,查表得,使,解出式,中的不等式,得,的置信度为,的双侧等概率置信区间为,简记为,设总体,三、单正态总体均值与方差的置信区间,(X1,X2,Xn)为一样本,（）已知时,均值的置信度为的置信区间,此时取,对给定的,查表得,使,的置信度为,的置信区间是,例:测两点间距离5次,测得距离值(单位:米)为108.5,109.0,110.0,110.5,112.0,若测量值服从方差为2.5的正态分布,求距离真值的置信度为0.95的置信区间.,解:,设距离测量值为X,已知,需求,的置信度为0.95的置信区间.,而此时,的置信度为,的置信区间是,由样本值算得:,对,查表得,求得,故距离真值的置信度为0.95的置信区间是(108.61,111.39).,（）未知时,均值的置信度为的置信区间,设总体,(X1,X2,Xn)为一样本,此时取,对给定的,查表得,使,的置信度为,的置信区间是,及自由度n1,解:,设轴承直径为X,未知,需求,的置信度为0.95的置信区间.,而此时,的置信度为,的置信区间是,由样本值算得:,对,n1=6查表得,求得,故轴承直径的置信度为0.95的置信区间是(111.75,113.85).,例:在一批由某车床加工的轴承中随抽几只,测得直径(mm)为112.0,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6,若直径服从正态分布,求该批轴承直径均值的置信区间,设总体,(X1,X2,Xn)为一样本,2方差的置信度为的置信区间,未知,此时取,对给定的,及自由度n1,查表得,及,使,的置信度为,的置信区间是,标准差,的置信区间是,解:,设轴承直径为X,未知,需求,的置信度为0.95的置信区间.,由样本值算得:,对,n1=6查表得,例:在一批由某车床加工的轴承中随抽几只,测得直径(mm)为112.0,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6,若直径服从正态分布,求该批轴承直径方差的置信区间,求得,故轴承方差的置信度为0.95的置信区间是(0.535,6.257).,小结如下：,对正态总体,（1）已知时,均值的置信度为的置信区间,是,（2）未知时,均值的置信度为的置信区间,是,（3）未知时,方差的置信度为的置信区间,是,前面提到过:对给定样本、给定的置信度,置信区间不是唯一的.对同一个参数,我们可以构造出许多置信区间.,我们总是希望置信区间尽可能短.,在概率密度为单峰且对称的情形,以双侧等概率方法求得的置信区间的长度为最短.,即使在概率密度不对称的情形,习惯上仍以双侧等概率方法来计算未知参数的置信区间.,我们可以得到未知参数的的任何置信度小于1的置信区间,并且置信度越高,相应的置信区间平均长度越长.,也就是说,要想得到的区间估计可靠度高,区间长度就长,估计的精度就差.这是一对矛盾.,实用中应在保证足够可靠的前提下,尽量使得区间的长度短一些.,请看置信区间的演示,四、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+,而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,而对化学药品等物品中的杂质含量来说