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第七节方向导数与梯度,1,1.设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,2,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,3,设曲面方程为,二、曲面的切平面与法线,令,切平面方程为,法线方程为,4,其中,5,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,6,讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,P,7,当沿着趋于时，,是否存在？,P,8,记为,9,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,10,解,11,解,由方向导数的计算公式知,故,12,推广可得三元函数方向导数的定义,13,解,令,故,方向余弦为,故,14,三、梯度的概念,15,16,结论,17,在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,18,等高线的画法,播放,19,例如,20,梯度与等高线的关系：,21,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,22,23,解,由梯度计算公式得,故,24,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,四、小结,25,思考题,26,思考题解答,27,Assignment,P10868,28,练习题,29,30,练习题答案,31,等高线的画法,32,等高线的画法,33,等高线的画法,34,等高线的画法,35,等高线的画法,36,等
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