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微专题之平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中,研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】(一) 平面向量共线定理 已知,若,则三点共线;反之亦然(二) 等和线 平面内一组基底及任一向量,若点在直线上或者在平行于的直线上,则(定值),反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。(1) 当等和线恰为直线时,;(2) 当等和线在点和直线之间时,;(3) 当直线在点和等和线之间时,;(4) 当等和线过点时,;(5) 若两等和线关于点对称,则定值互为相反数;【解题步骤及说明】1、 确定等值线为1的线;22、 平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;3、 从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值和最小值;说明:平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致,若不一致,本着少数服从多数的原则,优先平移固定的向量;若需要研究的两系数的线性关系,则需要通过变换基底向量,使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动。若,其中,则的最大值是_。跟踪练习:已知为的外心,若,则的最大值为_例2、在平面直角坐标系中,为坐标原点,两定点满足,则点集所表示的区域面积为_.例3、如图,在扇形中,为弧上不与重合的一个动点,若 存在最大值,则的取值范围为_. 跟踪练习:在正方形中,为中点,为以为直径的半圆弧上任意一点,设,则的最小值为_.【强化训练】1、在正六边形中,是三角形内(包括边界)的动点,设,则 的取值范围_.2、如图,在平行四边形中,为边的三等份点,为的交点,为边上的一动点,为内一点(含边界),若,则的取值范围_.3、设分别是的边,上的点,若 (为实数),则的值为_.4、梯形中,为三角形内一点(包括边界),则的取值范围_.5、已知,点在内,且,设,则的值为_.6、在正方形中,为中点,为以为圆心,为半径的圆弧上的任意一点,设,则的最小值为_.7、已知,为实数)。若为以为直角顶点的直角三角形,则 取值的集合为_。8、平面内有三个向量,其中夹角为,的夹角为,且,若,则的值为_。9、如图,是圆上的三点,的延长线与线段的延长线交于圆外的点,若,则的取值范围为_。10、已知为的外心,若,且,则=_.11、已知是两个互相垂直的单位向量,且,则对任意的正实数,的最小值为_.1、征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法,就是去做你害怕的事,直到你获得成功的经验。2、忍别人所不能忍的痛,吃别人所

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