探讨第二型曲面积分的计算方法

目录摘要1关键词1Abstract1Keywords10 前言11 直接利用公式进行计算12 利用积分曲面的对称性进行计算33 利用两类曲面积分之间的联系进行计算64 利用高斯公式进行计算6参考文献9探讨第二型曲面积分的计算方法 姓名：李亚平 学号：20105031272 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：张萍 职称：讲师摘 要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式The application of symmetry to the calculation of curvilinear integral and camber integralAbstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essayAnd the proves of theorems is also includedKey Words：symmetry；curvilinear integral；camber integral；gauss formula0 前言 众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论1 利用公式直接进行计算 大家知道，若在光滑有向曲面上连续，则存在，且有计算公式： (1)其中表示在面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“”号这一公式表明，计算曲面积分时，只要把其中变量换为表示的函数，然后在的投影区域上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向” 类似地，如果曲面的方程为，则 (2)如果曲面的方程为，则 (3) 因此我们在计算时通常将其分开计算三个积分，即分别把曲面投影到面、面，面上化为二重积分进行计算，投影域的侧由曲面的方向决定例1 计算积分，其中为球面,且取外侧解对积分，分别用记前半球面和后半球面的外侧，则：，：，所以 = = = 对积分，分别用记右半球面和左半球面的外侧，则：，： 对积分，分别用记上半球面和下半球面的外侧，则：，：同理带入计算得=，所以 =2 利用积分曲面的对称性进行计算 定理1 设曲面是由关于点（或平面）对称的组成，设的对称点为，则 证 以曲面关于平面对称为例不妨设曲面是关于平面对称的曲面组成，设坐标为，则其对称点的坐标为，设在平面上的射影区域为，则 = (1) ； (2) 例2 计算曲面积分，其中为曲面介于平面之间的部分 解 因曲面关于平面对称，而，由定理1知，其中是在第一卦限的部分，于是 =，其中是曲面在面上的射影 定理2 设光滑曲面关于平面对称，且在平面上半空间的部分曲面取定上侧，在平面下半空间的部分曲面取定下侧，则 (1) 若关于变量是偶函数，则； (2) 若关于变量是奇函数，则 证 由于,而：取上侧，：取下侧，设，在平面上的射影区域为，则 = = (1) 若，则； (2) 若，则推论1 设光滑曲面关于平面对称，且在平面前半空间的部分曲面取定前侧，在平面后半空间的部分曲面取定后侧，则 (1) 若关于变量是偶函数，则； (2) 若关于变量是奇函数，则 推论2 设光滑曲面关于平面对称，且在平面右半空间的部分曲面取定右侧，在平面左半空间的部分曲面取定左侧，则 (1) 若关于变量是偶函数，则； (2) 若关于变量是奇函数，则 例3 计算曲面积分，其中是抛物面在上半空间部分的外侧 解 由推论1和推论2知，故原式=其中 例4 计算曲面积分，其中为锥面在平面之间的外侧 解 由推论1和推论2知，故 =3 利用两类曲面积分之间的联系进行计算公式，建立了两类曲面积分之间的联系，其中是有向曲面上点处的法向量的方向余弦例5 计算积分，其中为球面,取外侧 解 设是有向曲面上点处的法向量的方向余弦，则，曲面的面积微元为，根据对称性有 = = =4 利用高斯公式进行计算(1) 设空间闭区域由光滑双侧曲面所围成，在上连续，且有一阶连续偏导数，则有，其中取外侧例6 计算积分，其中为球面,取外侧 解 设，则，满足高斯公式的条件，所以=(2) 若不是封闭曲面，则不能直接利用高斯公式，此时可以考虑用添加辅助曲面的方法将积分曲面补成封闭曲面，通常我们称这种方法为“补块”补块是平行于坐标平面的平面块时一般最为有利，从而有 =，其中是由分片光滑的闭曲面所围成，在具有一阶连续偏导数例7 计算积分，其中是上半球面的外侧解添加一曲面，取下侧为正向，则与构成一封闭曲面，外侧为正向，故 =(3) 如果函数在不具有一阶连续偏导数，则通过清除奇点，再利用高斯公式例8 计算曲面积分，其中是椭球面的外侧，解 ，则当时，作球面，使所包围的部分包含在所围成的区域内，且球面的法向量指向球心此时，由高斯公式， = = = =在计算第二型曲面积分时，如果所给条件满足高斯公式的条件，我们通常选择用高斯公式来计算，因为用此种方法计算量比较小，且容易计算在所给条件不满足高斯公式条件时，我们再考虑另外的几种计算方法下面对其他几种计算方法的特点加以说明直接利用公式进行计算，首先必须标出曲面的“正负侧”，其次计算量比较大；利用曲面的对称性来进行计算的话，显而易见此曲面必须具有对称性，此种方法的优点在于可以很大程度的减少计算量，甚至能一步得出结果；利用两种曲面积分之间的关系来计算这种方法，在可以减少计算量的同时，必须知道有向曲面上点处的法向量的方向余弦因此，我们在计算第二型曲面积分时，要根据所求积分的性质，以及所给条件，灵活应用各种方法参考文献：1 刘三阳等数学分析选讲M北京：科学出版社，20072 陈纪修等数学分析(下)M北京：高等教育出版社，20043 赵振海对坐标的曲面积分的一题多解J数学学习(高等数学季刊)，1998，19(1)：33-364 赵艳辉，王湘平用对称性求线面积分J湖南科技学院学报，2012，9(1)：5-85 陈文灯，袁一圃，俞元洪高等数学M北京：高等教育出版社，20016 同济大