收敛数列的性质

2 收敛数列的性质. 教学目的与要求1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.3掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. 教学重点与难点:重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理22(唯一性) 若数列收敛，则它只有一个极限证 设是的一个极限我们证明：对任何数不是的极限事实上，若取，则按定义，在U(之外至多只有中有限个项，从而在U()内至多只有中有限个项；所以不是的极限这就证明了收敛数列只能有一个极限 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实 定理23(有界性) 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有 证 设取，存在正数N，对一切N有 即 记 则对一切正整数都有 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件例如数列有界，但它并不收敛 定理2.4 (保号性) 若(或)，则存在正数，使得当时有，这就证得结果对于的情形，也可类似地证明 注 在应用保号性时，经常取. 定理2.5(保不等式性) 设与均为收敛数列若存在正数，使得当时，有，则 证 设分别存在正数时，有 ， （）当时有 . ()取，则当时，按假设及不等式(1)和(2)有由此得到由任意性推得，即 请学生思考：如果把定理2.5中的条件换成严格不等式，那么能否把结论换成，并给出理由 .例1 设证明：若则 （3）证 由定理2.5可得若，则由，任给，存在正数，使得当时有 ，从而即故有若，则有.任给，由，存在正数N，使得当时有从而(3)式得证 定理 (迫敛性) 设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时有 ， (4)则数列收敛，且 证 任给，由，分别存在正数与，使得当时有 ， (5)当时有 (6)取，则当时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有从而有，这就证得所要的结果 定理26不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具 例2 求数列的极限 解 记，这里，则有由上式得 ，从而有. (7)数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛 性证得 在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则 定理27(四则运算法则) 若与为收敛数列，则，也都是收敛数列，且有，特别当为常数时有若再假设及，则也是收敛数列，且有.证 由于及，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可. 设则对任给的分别存在正数与，使得当当取则当时上述两不等式同时成立，从而有12 （8） 由收敛数列的有界性定理，存在正数，对一切有.于是，当时由（8）式可得.由的任意性，得. 3由于根据收敛数列的保号性，存在正数，则当时有.取则当时有由的任意性，这就证得. 例3 求，其中， 解 以同乘分子分母后，所求极限式化为 .当时有.于是，当时，上式除了分子分母的第一项分别为与外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于；当时，由于，故此时所求的极限等于0综上所述，得到 例4 求其中.解 若则显然有;若,则由得若,则 例5求解 由及例1得 最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理定义1 设为数列，为正整数集的无限子集，且则数列称为数列的一个子列,简记为. 注1 由定义1可见，的子列的各项都选自，且保持这些项在中的先后次序中的第项是中的第项，故总有实际上本身也是正整数列的子列 例如，子列由数列的所有偶数项所组成，而子列则由的所有奇数项所组成又本身也是的一个子列，此时， 注2 数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列例如和都是的非平凡子列由上节例可知：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限 定理28 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛 证 必要性 设，是的任一子列任给，存在正数，使得当时有由于，故当时更有，从而也有，这就证明了收敛(且与有相同的极限) 充分性 考虑的非平凡子列，与按假设，它们都收敛由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性， （9）又既是又是的子列，同样可得 （10）(9)式与(10)式给出所以由上节例7可知收敛 由定理28的证明可见，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与必收敛于同一个极限于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散例如数列，其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于1，从而发散.再如数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列