旋转变换中的全等与相似

旋转变换中的全等与相似旋转变换是全等变换，旋转变换与全等紧密相连，但有些相似问题也可以在旋转变换的背景中加以研究。仅举几例以作说明：例1.（旋转中的全等） 如图一，在ABC中，分别以AB，AC为直径在ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. 过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若ACB=90,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;例2（旋转中的相似）含30角的直角三角板ABC中，A=30.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且 90），得到Rt，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE交边于点E，连接BE. （1）如图1，当边经过点B时，= ； （2）在三角板旋转的过程中，若CBD的度数是CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3） 设 BC=1，AD=x，BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作E，当S= 时，求AD的长，并判断此时直线与E的位置关系. 例3（旋转中的相似）已知：在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F如图甲，当AC=BC，且CE=EA时，则有EF=EG；（1）如图乙，当AC=2BC，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF EG；（2）如图乙，当AC=2BC，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；图乙图乙图甲（第25题）（3）当AC=mBC，且CE=nEA时，请探究线段EF与EG的数量关系，直接写出你的结论（不必证明）例4.（旋转中的全等与相似） 操作：在ABC中，ACBC2，C90，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图，是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图加以证明。（2）三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图加以证明。例5.（旋转中的全等）ABC中，BAC=90，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；图1图2图3（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“B=30，ADBC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值. 例6.（旋转中的全等）已知：ABC为直角三角形，BAC=900，D为BC边的中点，有一块直角三角板PMN，其中MPN=900，将它放在ABC上，使得其顶点P与D点重合，旋转三角板PMN，在旋转过程中，三角板的两条直角边DM、DN分别于AB、BC边所在的直线交于点E、F，连结EF。（1）当E、F分别在边AB、AC上（如图1）求证：